Results 1 to 12 of 12
  1. #1

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post

    quadratisch taylor-approximation

    f(x,y) = y^x an der stelle x0=3 und y0=1 und berechne näherungsweise 1,1^(2,9)

    also ich hab das bsp so versucht zu lösen
    hab eine formel zur quadratischen taylor-approximation gefunden

    f(x,y) = f + fx(x-x0) + fy(y-y0)+1/2!(fxx(x-x0)²+2fxy(x-x0)(y-y0)+fyy(y-y0)²)

    da hab ich für:
    f = y^x
    fx = y^x*ln(y)
    fxx = y^x*(ln(y))²
    fy = x*y^(x-1)
    fyy = x*(x-1)*y^(x-2)
    fxy = (ln(y)*x/y+1/y)*y^x

    also die ganzen ableitungen in die formel eingesetzt

    y^x kann ich überall streichen und dann ausmultiplizieren und vereinfachen

    kann das so stimmen?
    und wie geht es dann weiter?

    wie kann ich näherungsweise 1,1^(2,9) bestimmen?!?

    danke im voraus

    lg

  2. #2

    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Apr 2005
    Location
    Wien
    Posts
    811
    Thanks Thanks Given 
    28
    Thanks Thanks Received 
    130
    Thanked in
    96 Posts
    Puh, das ist ne blöde Rechnerei.. also ich hab für fxy glaub ich was anderes (bin jetzt aber zu faul auf äquivalenz zu vergleichen):
    fxy = x*y^(x-1)*ln(y)+y^x*(1/y) = x*y^(x-1)*ln(y)+y^(x-1)
    = y^(x-1) * (x*ln(y) + 1)

    Dann hab ich gleich da jeweils x0 und y0 eingesetzt und dann erst in das Taylorpolynom mit den Werten gegangen.
    Mit viel Mühe bin ich dann auf folgendes gekommen:

    t(x,y) = 1+ 3*(y-1) + 1/2*( 1.21*(x-3)^2 + 2*(y-1)(x-3) + 6*(y-1)^2)

    Also wenn ich mich da nicht irgendwo verrechnet hab...

    Was diese 1,1 ^ (2,9) Notation sein soll, ist mir auch nicht ganz klar.
    Aber ich würd mal z.B. x=2 und y=9 setzen und das damit ausrechnen.

    EDIT:
    in http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=56037
    wird die Notation so interpretiert, dass f(2.9,1.1) ausgerechnet wird.
    EDIT2: Aso, jetzt schon klar.. weil f ja y^x ist, daher die Notation
    Last edited by mtoman; 12-03-2009 at 02:44.

  3. #3

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post
    was ich gern wissen würde is
    wo bleibn bzw wie verschwinden deine ln(x) und so?

  4. #4

    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Apr 2005
    Location
    Wien
    Posts
    811
    Thanks Thanks Given 
    28
    Thanks Thanks Received 
    130
    Thanked in
    96 Posts
    die rechne ich aus.
    f, fx, fxx etc. werden ja mit fx(x0,y0) "aufgerufen" also kann ich da auch x0=3 und y0=1 einsetzen.

  5. #5

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post
    verstehe ich nicht ganz
    entweder hab ich schon abgeschalten oder das is nicht ganz richtig

    wie kannst du bei zb log(x) die werte von x0=3 nehmen?

    x und x0 sind ja nicht dieselben
    oder bin ich jetzt komplett daneben
    weil ich hab noch ein log(x) log(x)² usw noch alles drin

  6. #6

    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Apr 2005
    Location
    Wien
    Posts
    811
    Thanks Thanks Given 
    28
    Thanks Thanks Received 
    130
    Thanked in
    96 Posts
    Versteh schon was du meinst . Das Taylor Polynom sieht ja so aus:
    f(x,y) = f(x0, y0) + fx(x0,y0)*(x-x0) + fy(x0,y0)*(y-y0)...

    Also den ganzen Funktionen wird immer der Entwicklungspunkt (x0,y0) übergeben.

    z.b. fx(x0,y0)*(x-x0) - also die Steigung in X-Richtung am Entwicklungspunkt (x0,y0) mal die Änderung des x-Wertes (x-x0).

    Also z.b.
    fx(x0,y0) = 1^3 * ln(3)

  7. #7

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post
    also jetzt bin i irgendwie komplett auf der leitung
    auf welcher seite is das eigentlich im buch wenn ich fragen darf?

  8. #8

    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Apr 2005
    Location
    Wien
    Posts
    811
    Thanks Thanks Given 
    28
    Thanks Thanks Received 
    130
    Thanked in
    96 Posts
    Naja, ab Seite 240, aber relativ verwirrend dort.
    Auf Seite 241 Mitte sieht man das fxx(x0,y0)*h^2 auch schön, da wird an fxx der Enwicklungspunkt x0,y0 übergeben.

  9. #9

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post
    hmm ich werd mir das ganze mal bissl nochmals durchlesen
    vl werd ich mal schlauer

  10. #10

    Title
    Principal
    Join Date
    Mar 2007
    Posts
    92
    Thanks Thanks Given 
    2
    Thanks Thanks Received 
    1
    Thanked in
    1 Post
    also ich hab eine andere formel genommen als hier
    hab in google gesucht und eine formel gefunden
    ich weiß nicht ob das diese is aber dort is sogar ein bsp ausgerechnet mit der formel

    hast du das bsp fertig?
    kannst du vielleicht das bsp posten wenn du so nett wärst?
    einscannen oder irgendwie, wie es möglich ist

    wäre dir sehr dankbar

    lg

  11. #11

    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Apr 2005
    Location
    Wien
    Posts
    811
    Thanks Thanks Given 
    28
    Thanks Thanks Received 
    130
    Thanked in
    96 Posts
    Nunja... bei http://www.informatik-forum.at/showthread.php?t=56037 ist bissl anderes Ergebnis zu finden, ich vermute ich hab auch einen Fehler drin.

    Aber ich hatte

    fx = y^x * ln(y)
    fy = x * y^(x-1)
    fxx = y^x * (ln(x))^2
    fxy = y^(x-1) * ( x*ln(y) + 1 )
    fyy = (x^2 - x)*y^(x-2)

    Dann hab ich jeweils in alle Funktionen mal x0 = 3 und y0 = 1 eingesetzt und das Taylorpolynom zusammengebaut mit dem Zwischenschritt:

    1^3 + (1^3 * ln(1))*(x-3) + (3*1^2)*(y-1) +
    1/2 * ( 1^3 * (ln(3))^2 * (x-3) + 2*(1*(3*ln(1)+1))*(y-1)*(x-3) + (6)*1*(y-1))

    =

    1 + 0 + 3*(y-1) + (1/2)*(1,21*(x-3)^2 ü 2*(y-1)*(x-3) + 6*(y-1)^2)


    Tja...
    meine Übung und meine Vorlesung ist jetzt schon einige Zeit her und schlag mich jetzt schon fast 2 Wochen mit dem ganzen Zeugs rum und trotzdem hab ich bei weitem nicht das Gefühl, alles zu können... irgendwie kommt mir persönlich der Stoff doch mehr vor als Mathe1
    Gerade die numerische Mathematik mit ihren hunderttausend Verfahren... bah.

    Na hoffentlich wird das morgen was... *seufz*

  12. #12

    Title
    Hero
    Join Date
    Nov 2004
    Posts
    189
    Thanks Thanks Given 
    21
    Thanks Thanks Received 
    17
    Thanked in
    12 Posts
    hier gibts die Kurzversion des Beispiels ( Beispiel 2, weiter unten ) aber mit dem Verständniss haperts bei mir, vorallem Kommt die Taylorreihe von Funktionen mit 2 Parametern nicht im Buch vor.. also geh ich davon aus das es kein Prüfungsstoff mehr ist..


    http://www.math.uni-magdeburg.de/~ho.../folie12_8.pdf

Bookmarks

Posting Permissions

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts
  •