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Thread: Beispiel 19

  1. #1

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    Beispiel 19

    Ich hab zwar noch keine vollständige Lösung des Beispiels , aber ich poste mal meinen Ansatz:

    (A x B ) n (B x A) = ( A n B ) x ( B n A)

    Sei A={a1, a2, a3, ...} und B {b1, b2, b3}.
    Dann steht links {{a1,b1}, {a2, b2}, ... } n {{b1, a1}, {b2, a2}, ... } = leere Menge

    Rechts ist A n B = B n A = Leere Menge.

    Ist jedoch A = B = {a,b,c,...}, dann steht links:
    {{a,a},{b,b}, ... } n {a,a}, {b,b}, ...} = A x A
    und rechts (A n A) x ( A n A) = A x A.
    Scheint auch hier zu gelten.

    Soweit so gut. Ich glaube aber nicht, dass das die Lösung des Problems ist. Hat jemand andere Vorschläge?

    mfg

  2. #2

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    es gibt auch noch den Fall, dass A und B einige Elemente gleich haben also zb A = {a, b, c} B = {a, b, d}

    AnB x AnB = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) }

    AxB = { (a, a), (a, b), (a, d), (b, a), (b, b), (b, d), (c, a), (c, b), (c, d) }
    BxA = { (a, a), (a, b), (a, c), (b, a), (b, b), (b, c), (d, a), (d, b), (d, c) }

    AxB n BxA = { (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) }

    ändert auch nichts daran, dass gleich sind

  3. #3

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    Quote Originally Posted by mabelode
    es gibt auch noch den Fall, dass A und B einige Elemente gleich haben also zb A = {a, b, c} B = {a, b, d}
    Das hilft aber nix, da wir dass für alle möglichen Kombinationen beweisen müssen...

  4. #4

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    Quote Originally Posted by stefand
    Das hilft aber nix, da wir dass für alle möglichen Kombinationen beweisen müssen...
    das sind meiner meinung nach alle möglichen kombinationen. entweder sind zwei Mengen A, B gleich, disjunkt oder sie überschneiden sich, aber ich kann mich auch irren...

  5. #5

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    Quote Originally Posted by mabelode
    das sind meiner meinung nach alle möglichen kombinationen. entweder sind zwei Mengen A, B gleich, disjunkt oder sie überschneiden sich, aber ich kann mich auch irren...
    Das schon, aber für sich überschneidende Mengen kannst du unendlich viele Beispiele angeben. Selbst wenn du 1000 Beispiele hinschreibst, hast du noch nicht den Beweis, dass es keines gibt, für das die Aussage nicht gilt.

  6. #6

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    ich hab es einerseits wie ihr, jedoch hab ich dann noch einen anderen ansatz. kann aber nicht sagen ob der so gilt. post ihn aber dennoch:

    (A x B ) n (B x A) = ( A n B ) x ( B n A)

    linke Seite:
    (A und B) n (B und A) =
    (A und B) und (B und A)

    rechte Seite:
    (A und B ) x (B und A) =
    (A und B ) und (B und A)

    linke und rechte seite sind gleich

    wie komm ich auf das:
    AxB={x,y|x€A ^ y€B} ^ heißt ja "und"
    AnB={x|x€A ^ x€B}

    mfg
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  7. #7
    Christoph R.'s Avatar
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    (A x B ) n (B x A) = ( A n B ) x ( B n A)

    Es wird ein Element (x,y) angenommen und man geht von der linken Seite aus:
    (x,y) € (A x B) n (B x A) <--> (x,y) € (A x B) und (x,y) € (B x A) <-->
    x € A und y € B und x € B und y € B <--> x € A und x € B und y € B und y € A <-->
    x € (A n B) und y € (B n A) <--> (x,y) € ((A n B) x (B n A))

    QED

    Diese Lösung stimmt sicher - falls ich mich jetzt nicht vertippt habe -, da sie letzten Mittwoch beim Repetitorium besprochen wurde.

    mfg

  8. #8

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    Quote Originally Posted by Christoph R.
    (A x B ) n (B x A) = ( A n B ) x ( B n A)

    Es wird ein Element (x,y) angenommen und man geht von der linken Seite aus:
    (x,y) € (A x B) n (B x A) <--> (x,y) € (A x B) und (x,y) € (B x A) <-->
    x € A und y € B und x € B und y € A <--> x € A und x € B und y € B und y € A <-->
    x € (A n B) und y € (B n A) <--> (x,y) € ((A n B) x (B n A))

    QED
    sonst ist sie perfekt

  9. #9
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    versteh ich die lösung da richtig..?
    es wird praktisch bewiesen, dass A und B gleich sein müssen, damit die äquivalenz erfüllt ist?

    Meine Lösung sieht anders aus.. scheint mir aber beides passend

    Ich hatte mir Später noch überlebt über die Mächtigkeit zu argumentieren.. also
    |AxB| = |A|*|B|
    |AnB| = |A|+|B|-|AuB|
    Aber irgendwie ist das wohl nicht ganz so passend..

    Meine Lösung ist einfach.. ich gehe davon aus, dass A!=B, wäre = hätten sie auch gleich benannt werden können
    und dann list ich beide Mengen auf.. wobei sich zeigt, dass beim 1. die Elemente aus AxA und BxB fehlen
    wärs interessant würd ich mir die Mühe machen das zu tippen

    Grüße
    ~ carpe noctem diemque ~
    "He, Hugin oder Munin oder wer du bist! Sag mal nimmermehr!", sagte Shadow.
    "Leck mich!", sagte der Rabe. (aus
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  10. #10
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    Hmmm... kann mir bitte wer Erklären, was bei dieser Lösung von Christoph R. genau gemacht wird bzw. wie ich das dem Länger glaubhaft beweisen soll? ;-)
    Last edited by Fugo; 23-11-2005 at 16:32.

  11. #11

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    gut ich versuchs mal, und hoffe es richtig verstanden zu haben, weil der länger hat mcih da ein bisschen durcheinandergebracht, aber ich glaub da war ich nicht der einzige!!!

    (A x B ) n (B x A) = ( A n B ) x ( B n A)

    Es wird ein Element (x,y) angenommen und man geht von der linken Seite aus:
    (x,y) € (A x B) n (B x A) man nimmt irgendwelche Elemente an, die definiert sind, dass sie eben aus (A x B) n (B x A) stammen. wenn wir dies annehmen heißt dass ...
    <--> (x,y) € (A x B) und (x,y) € (B x A) ... diese Elemente in A X B und in BxA enthalten sein müssen
    <-->
    x € A und y € B und x € B und y € A <--> x € A und x € B und y € B und y € A (nun "vereinen" wir diese Elemente, d.h. Erstes Element zur ersten Menge, zweites zur zweiten Menge, danach stellen, wir es um damit wir es besser sehen was enthalten ist.
    <-->
    x € (A n B) und y € (B n A) Wir stellen fest, dass x in A und in B enthalten ist, und somit nur die Schnittmenge damit gemeint ist, somit gilt dieser Satz
    <--> (x,y) € ((A n B) x (B n A)) so und hier mussst du leider alleine weiterkommen, denn hier bin ich selbst ausgestiegen.

    QED

    Hoffe, das hilft etwas

    mfg

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