407
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Thread: 407

  1. #1
    michi204's Avatar
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    Hi! BSP 407 - Schaut es euch mal an habs gerechnet, weiß aber nicht ob ich da so ganz richtig liege... Es ist angehängt als PDF und hier gleich einmal für die LaTeX-Leute:

    Code:
    \documentclass{article}
     \usepackage[german]{babel}
     \begin{document}
     \textbf{Die folgenden Aufgaben sollen mit dem Inklusions-Exklusionsprinzip
     bearbeitet werden!} \\
     \section{$"U407)$}
        \textbf{Wie viele nat"urliche Zahlen $n$ mit $1 \leq n \leq
        10^{8}$ gibt es, die weder dritte, noch vierte, f"unfte oder
        sechste Potenz einer nat"urlichen Zahl sind?} \\ \\
        $ B_{3}, ~ B_{4}, ~ B_{5}, ~ B_{6}, ~ $ \ldots Mengen, die alle
        3., 4., 5., oder 6. Potenzen einer nat"urlichen Zahl f"ur den oben definierten Bereich
        enthalten.\\
        \begin{math}
            B_{3} = \{n | \sqrt[3]{n} \in n\} \\
            B_{4} = \{n | \sqrt[4]{n} \in n\} \\
            B_{5} = \{n | \sqrt[5]{n} \in n\} \\
            B_{6} = \{n | \sqrt[6]{n} \in n\} \\ \\
        \end{math}
        $A$ \ldots Menge mit $A = \{n \in N | 1 \leq n \leq 10^{8} \wedge \sqrt[3]{n}
        \notin N \wedge \sqrt[4]{n} \notin N \wedge \sqrt[5]{n} \notin N \wedge \sqrt[6]{n}
        \notin N \}$, also jene Menge, die die Elemente der oben genannten Mengen nicht enth"alt, und deren
        Kardinalit"at gesucht ist.\\ \\
    
        \begin{math}
            |A| = |[1;10^{8}]| - |B_{3} \cup B_{4} \cup B_{5} \cup
            B_{6}| \\ \\
            \sqrt[6]{x} \in N, x \in N \Rightarrow \sqrt[3]{x} \in N
            \Rightarrow B_{6} \subseteq B_{3} \\
        \end{math} \\
            Weil die sechste Potenz jeder Zahl $x \in N$ automatisch auch dritte
            Potenz des Quadrates dieser Zahl $x$ ist (z. B.:
            $2^{6}=64, ~ 4^{3}=64$), ist die Menge der sechsten Potenzen einer
            nat"urlichen Zahl eine Teilmenge der Menge der dritten Potenzen einer
            nat"urlichen Zahl. Die Menge der sechsten Potenzen kann daher vernachl"assigt
            werden. \\ \\
        \begin{math}
            |A| = 10^{8} - |B_{3} \cup B_{4} \cup B_{5}| \\
            |A| = 10^{8} - (|B_{3}| + |B_{4}| + |B_{5}| - |B_{3} \cap B_{4}| -
            |B_{4} \cap B_{5}| - |B_{3} \cap B_{5}| + |B_{3} \cap B_{4} \cap B_{5}|) \\ \\
        \end{math}
            Die Anzahl der Elemente f"ur die einzelnen mit B
            bezeichneten Mengen ergibt sich aus der jeweiligen Wurzel
            von $10^{8}$, da man so die h"ochstm"ogliche Basis f"ur eine
            im Definitionsbereich liegende Potenz bekommt (das Ergebnis
            muss nat"urlich abgerundet werden): \\ \\
        \begin{math}
            |B_{3}| = \sqrt[3]{10^{8}} \approx 464 \\
            |B_{4}| = \sqrt[4]{10^{8}} = 100 \\
            |B_{5}| = \sqrt[5]{10^{8}} \approx 39 \\
            |B_{6}| = \sqrt[6]{10^{8}} \approx 21 \\ \\
            |B_{3} \cap B_{4}| = \sqrt[12]{10^{8}} \approx 4 \\
            |B_{4} \cap B_{5}| = \sqrt[20]{10^{8}} \approx 2 \\
            |B_{3} \cap B_{5}| = \sqrt[15]{10^{8}} \approx 3 \\ \\
            |B_{3} \cap B_{4} \cap B_{5}| = \sqrt[60]{10^{8}} \approx 1 \\ \\
            |A| = 10^{8} - (464 + 100 + 39 - 4 - 2 - 3 + 1) \\ \\
            \underline{|A| = 99999405} \\ \\
        \end{math}
     \end{document}
    Attached Files Attached Files


  2. #2

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    hmm ich find des schaut sehr gut aus !!

    ich denke mal des is richtig !
    www.ferdo.at.tt

  3. #3
    jay's Avatar
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    word @ ferdo!

    @michi204: thx daß du das Bsp auch mit worten erklärt hast!
    dadurch konnte ich das Bsp nicht nur abschreiben sondern auch verstehen.
    hoffe, andere nehmen sich daran ein Beispiel

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