n-te Partialsumme berechnen?
Results 1 to 3 of 3
  1. #1
    jjan's Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Feb 2002
    Location
    /home/jjan
    Posts
    267
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts

    n-te Partialsumme berechnen?

    Man berechne die n-te Partialsumme der Reihe:

    Summe(k=1 bis unendlich) 3k/s^k

    Weiß jemand zufällig noch, wie man dieses Beispiel löst? Ich habs mal gewusst, aber irgendwie hab ich den Trick, der dahintersteckt, wieder vergessen ... :-/

    Wäre echt spitze, wenn jemand meinem Gedächtnis etwas auf die Sprünge helfen könnte ... (ich leide wohl schon an Altersdemenz ;-)

    MfG

  2. #2

    Title
    Master
    Join Date
    Dec 2001
    Location
    Wien, 8.
    Posts
    100
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts

    Re: n-te Partialsumme berechnen?

    Code:
    \sum_{k=1}^\infty 3k/s^k =
    3 \sum_{k=1}^\infty k q^k  mit q=1/s
    
    nur für |q|<1 ist diese Reihe konvergent
    
    \sum_{k=1}^\infty k q^k = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=n}^\infty q^k  (1)
    
    s_{n,m} = \sum_{k=n}^m q^k
    
        s_{n,m} = q^n + q^{n+1} + ... + q^{m}             (2)
    s_{n,m} * q =       q^{n+1} + ... + q^{m} + q^{m+1}   (3)
    
    (2)-(3)
    s_{n,m}(1-q) = q^n-q^{m+1}
    
    s_{n,m} = (q^n-q^{m+1})/(1-q)
    
    r_n = \lim_{m\to\infty} s_{n,m} = q^n/(1-q) (4)
    
    aus (1) und (4) folge
    
    \sum_{k=1}^\infty k q^k = \sum_{n=1}^\infty r_n = \sum_{n=1}^\infty
    q^n/(1-q) =
    
    1/(1-q) \sum_{n=1}^\infty q^n = 1/(1-q) * q/(1-q)
    
    gesammt ergibt sich also
    
    3 * q/(1-q)^2
    
    
    man kann das ganze auch etwas anderes darstellen
    
    \sum_{k=1} k q^k =
    = 1*q + 2*q^2 + 3*q^3 + 4*q^4 + .... =
    --------------------------------------
        q +   q^2 +   q^3 +   q^4 + .... +        (4)
              q^2 +   q^3 +   q^4 + .... +        (5)
                      q^3 +   q^4 + .... +
                              q^4 + ....
                                    ....
    -------------------------------------- (zählt man die reihen zusammen kommt
    man wieder auf)
       q + 2*q^2 + 3*q^3 + 4*q^4 + ....
    
    
    
    (4) und (5) können wie oben berechnet werden

    hth

    Hannes

  3. #3
    jjan's Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Feb 2002
    Location
    /home/jjan
    Posts
    267
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts

    Thumbs up Re: Re: n-te Partialsumme berechnen?

    Original geschrieben von heder

    hth

    Hannes


    Und ob das hilft! Das ist genau die Lösung, die Prof. Kaiser mal in einer Prüfungsnachbesprechung demonstriert hat, aber mir ist einfach nicht mehr eingefallen, wie er das gemacht hat :-/

    Das ist echt ein Wahnsinn, dass Du Dir die ganze Arbeit angetan hast, dafür hast Du Dir auf jeden Fall ein Bier oder ein anderes Getränk Deiner Wahl verdient, einzulösen nach der Mathe Prüfung am 4. 10. - davor muss ich noch lernen ;-)

    Nochmal danke,

    Jeremy

Bookmarks

Posting Permissions

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts
  •