potenzreihenentwicklung - wie geht das?
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  1. #1

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    potenzreihenentwicklung - wie geht das?

    hallo!

    über diesen punkt schweigen sich skriptum und baron-bücher aus. ich kenn natürlich die taylor- und maclaurin-reihenentwicklungen, aber diese sind ja nicht von der klassischen potenzreihenform. gibt es noch eine andere möglichkeit, eine stetige fkt. in eine potenzreihe zu entwickeln, oder ist bei derartigen fragen einfach eine der beiden obigen gefragt?
    thx
    rechts is gas!!!

  2. #2

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    Re: [ FRAGE ] potenzreihenentwicklung - wie geht das?

    Was verstehst du unter "klassicher Potenzreihenform"?

    a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... a_n x^n + ... = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n

    bzw. noch mit einer Entwicklungsstelle x_0, bei denen x durch (x-x_0)
    ersetzt wird?

    Im Bronstein werden für Potenzreihenentwicklung nur die Taylor-Reihe bzw.
    MacLaurinsche Reihe angegeben. Wir haben in der VO auch nur diese beiden
    Typen durchgenommen.

    Bei einer Taylor hat a_n immer die Form

    a_n = f^{(n)}(x_0) / n!

    wobei f^{(n)}(x_0) für die n'te Ableitung der zu entwickelnden Funktion an
    der Entwicklungstelle x_0 bedeutet.

  3. #3

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    ...

    und wie verwandle ich jetzt z.b. das folgende in eine potenzreihe?


    das bsp kam öffters vor und wegen dem hab ich meine letzte prüfung verhaut.

    danke im voraus ...

  4. #4

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    Re: ...

    Also ich hab das beispiel auch zur mathe1 prüfung gehabt. und 'einfach' ganz brav nach taylor entwickelt... beim restglied bin ich aber auch nimmer ganz weitergekommen. hab dann den konvergenzradius auf 1 geschätzt und das hat ihm gepasst )

    eine elegantere art wie man das rechnen kann hat mal wer im alten forum gepostet:

    du nimmst mal die potenzreihenentwicklung von 1/(1+x) her:
    1/(1+x) = x + x^2 + x^3 + x^4 +...
    dann leitest du beide seiten einfach 2 mal ab und dividierst dann durch 2 und kommst auf:
    1/(1+x)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 +...  also eine potenzreihenentwicklung für 1/(1+x)^3
    (hab das jetzt nicht nachgerechnet, sollte aber passen)

    hth,
    mfg, Chris
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  5. #5
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    Re: Re: ...

    Original geschrieben von Chris
    Also ich hab das beispiel auch zur mathe1 prüfung gehabt. und 'einfach' ganz brav nach taylor entwickelt... beim restglied bin ich aber auch nimmer ganz weitergekommen. hab dann den konvergenzradius auf 1 geschätzt und das hat ihm gepasst )

    eine elegantere art wie man das rechnen kann hat mal wer im alten forum gepostet:

    du nimmst mal die potenzreihenentwicklung von 1/(1+x) her:
    1/(1+x) = x + x^2 + x^3 + x^4 +...
    dann leitest du beide seiten einfach 2 mal ab und dividierst dann durch 2 und kommst auf:
    1/(1+x)^3 = 1 + 3x + 6x^2 + 10x^3 +...  also eine potenzreihenentwicklung für 1/(1+x)^3
    (hab das jetzt nicht nachgerechnet, sollte aber passen)

    hth,
    mfg, Chris
    Ich glaube, du wolltest 1/(1-x) respektive 1/(1-x)^3 schreiben ... 1/(1+x)^n wird für n Element R+ zu einer alternierenden reihe ...

    Ansonsten sollte das aber so stimmen.

    Bezüglich Restglied: IMHO muss für diesen Term kein Restglied angegeben werden, da er sich beliebig genau durch eine Reihe approximieren lässt, also kann man ihn in eine Taylorreihe verwandeln, nicht nur in ein Taylorpolynom (für das man dann ein Restglied angeben müsste).

  6. #6

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    Re: Re: Re: ...

    Original geschrieben von jjan

    Ich glaube, du wolltest 1/(1-x) respektive 1/(1-x)^3 schreiben ... 1/(1+x)^n wird für n Element R+ zu einer alternierenden reihe ...
    ups, ja hast recht. hab mich verschrieben..

    Bezüglich Restglied: IMHO muss für diesen Term kein Restglied angegeben werden, da er sich beliebig genau durch eine Reihe approximieren lässt, also kann man ihn in eine Taylorreihe verwandeln, nicht nur in ein Taylorpolynom (für das man dann ein Restglied angeben müsste).
    naja.. ich find man sollte es schon angeben und zeigen dass es (solange x im Konvergenzbereich ist) gegen 0 konvergiert.
    Dass der Term sich beliebig genau durch ein Polynom approximieren lässt, zeigt man ja genau dadurch, dass man zeigt, dass das Restglied gegen 0 strebt. Nur voraussetzen darf man das imho nicht von vornherein...

    andererseits muss man für ein Taylorpolynom n-ten Grades(wenns nicht anders dabeisteht) kein Restglied angeben und gegen den Entwicklungspunkt streben lassen.

    mfg, Chris
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  7. #7

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    ja, hat man mir auch schon gesagt, dass man das nach taylor macht. nur niemand wollte mir zeigen, wie das geht! ich kenn zwar die taylor reihe usw. hab aber keine ahnung, was man da in der prxis wo einsetzen muss. klingt blöd, is auch so.

    vielleicht kann mir wer das vorrechnen, wär echt nett.

    danke für die schnellen replies btw. ...

  8. #8
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    Original geschrieben von chobo4ever
    ja, hat man mir auch schon gesagt, dass man das nach taylor macht. nur niemand wollte mir zeigen, wie das geht! ich kenn zwar die taylor reihe usw. hab aber keine ahnung, was man da in der prxis wo einsetzen muss. klingt blöd, is auch so.

    vielleicht kann mir wer das vorrechnen, wär echt nett.

    danke für die schnellen replies btw. ...
    Na ja, das ist eigentlich eh ganz einfach ...

    Ich entwickle die Potenzreihe hier nach der Anschlussstelle 0, da nichts anderes angegeben ist ...

    Also haben wir (laut Satz von Taylor):

    f(x) = f(0) + f'(0)/1! x^1 + f''(0)/2! x^2 + f'''(0)/3! x^3 + ... + f^(n)(0)/n! x^n

    Das heißt, wir müssen die ersten paar Ableitungen von f berechnen, und dann für x den Wert 0 einsetzen.

    f(x) = 1/(1-x)^3 ... f(0) = 1

    f'(x) = 3/(1-x)^4 ... f'(0) = 3

    f''(x) = 12/(1-x)^5 ... f''(0) = 3 * 4

    f'''(x) = 60/(1-x)^6 ... f'''(0) = 3 * 4 * 5

    usw

    ---

    f(x) = 1 + 3*x + 3*4*x^2/2! + 3*4*5*x^3/3! + ... + (n+2)!/2 * x^n/n!

    Hoffe, ich hab jetzt keinen Tippfehler drinnen, aber das Konzept sollte auf jeden Fall erkennbar sein ...
    Eins Zwei Gras Bär Hund Vier Muh Macht Die Kuh

  9. #9

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