[LÖSUNG] - Blatt 12
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Thread: Blatt 12

  1. #1
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    Lightbulb Blatt 12

    OK, nach einer durchgemachten Nacht voller AlgoDat, Mathe und Kaffee, hab ich mal alle Mathebeispiele (die zugegeben dieses Mal eher einfach waren) gelöst und bitteschön, hier sind die Ergebnisse ! (jaja, ich weiß, es wird dringend nötig, daß ich LaTeX lern, vielleicht schaff ichs ja übern Sommer für Mathe2 dann Ansonsten: ASCII r0x !)

    Code:
    [56]
    Vektoren: x=(3,-1,2), y=(2,-3,-1), z=(1,2,2)
    
    a) (sqrt=Wurzel)
    ||x||=sqrt(3²+1²+2²)=sqrt(14)
    ||y||=sqrt(2²+3²+1²)=sqrt(14)
    ||z||=sqrt(1²+2²+2²)=sqrt(9)=3
    
    b)
    Winkel(x,y) = cos phi = (x*y) / ( ||x||*||y|| ) = (6+3-2) / (sqrt(14)*sqrt(14)) =
                = 7 / 14 = 1 / 2 => phi = 60°
    
    c) (X = Kreuzprodukt)
    V=(x X y)*z
    x X y = (1+6,-(-3-4),-9+2) = (7,7,-7)
    (x X y)*z = 7 + 2*7 - 2*7 = 7
    
    ==========================================
    
    [57] (analog zur Vorlesung, nur mit größeren Matrizen)
    
                        R1 R2  R3          
              1.Woche /  8  4  12 \       L1 L2
              2.Woche | 10  6   5 |  R1 /  8  4 \
    K = M*P = 3.Woche |  7  8   5 |* R2 | 10  6 | =
              4.Woche \ 11  7   9 /  R3 \  8  8 /
                                                                 L1  L2
        / (8*8 + 4*10 + 12*7)  (8*4 + 4*6 + 12*8) \   1.Woche / 188 152 \
        | (10*8 + 6*10 + 5*7)  (10*4 + 6*6 + 5*8) |   2.Woche | 175 116 |
      = | (7*8 + 8*10 + 5*7)   (7*4 + 8*6 + 5*8)  | = 3.Woche | 171 116 | => L2 billiger !
        \ (11*8 + 7*10 + 9*7)  (11*4 + 7*6 + 9*8) /   4.Woche \ 221 158 /
    
    ==========================================
    
    [58]
    
    |  0  7  3 10 |
    | -4  8  6 -1 |           | -4  6 -1 |       | -4  8 -1 |        | -4  8  6 |
    |  3  5 -2  3 | = 0 - 7 * |  3 -2  3 | + 3 * |  3  5  3 | - 10 * |  3  5 -2 | =
    |  5  4  1 -3 |           |  5  1 -3 |       |  5  4 -3 |        |  5  4  1 |
    
    [Anm.: die 3x3 Matrizen könnte (sollte ?) man nochmal entwickeln:
                 | -2  3 |
    - 7 * ( -4 * |  1 -3 | ) + 3 * usw..
    ...aber ich bin jetzt zu faul, das abzutippen :) 
    Mit der Regel von Sarrus gehts sowieso einfacher:
    D = a11*a22*a33 + a21*a32*a13 + a31*a12*a23 - a13*a22*a31 - a23*a32*a11 - a33*a12*a21
    ]
    
    = -7 * (119) + 3 * (313) - 10 * (-234) = 2446 (überprüft mit Derive, stimmt)
    
    ==========================================
    
    [59] (geht vielleicht auch einfacher, aber das war die erste,
    logischste Lösung die mir in den Sinn kam)
        / -2  4  0 \
    A = |  5 -1  7 |
        \  2  0  3 /
                                             / 1 0 0 \
    inverses Element (B) bedeutet: A*B = E = | 0 1 0 |
                                             \ 0 0 1 /
    
    Damit kann man wundervoll drei Gleichungssysteme aufstellen:
    
    / -2  4  0 \   / a d g \   / 1 0 0 \
    |  5 -1  7 | * | b e h | = | 0 1 0 |
    \  2  0  3 /   \ c f i /   \ 0 0 1 /
    
       / -2a+4b   -2d+4e   -2g+4h  \   / 1 0 0 \
    => | 5a-b+7c  5d-e+7f  5g-h+7i | = | 0 1 0 |
       \ 2a+3c    2d+3f    2g+3i   /   \ 0 0 1 /
    
    Gleichungssystem 1 für a, b, c
    -2a+4b = 1
    5a-b+7c = 0
    2a+3c = 0
    
    Gleichungssystem 2 für d, e, f
    -2d+4e = 0
    5d-e+7f = 1
    2d+3f = 0
    
    Gleichungssystem 3 für g, h, i
    -2g+4h = 0
    5g-h+7i = 0
    2g+3i = 1
    
    Die Lösung der Gleichungssysteme sollte eigentlich trivial ;) sein,
    kann man mitunter sogar mit Matrizen lösen, wenn man Lust hat,
    ich habs lieber "altmodisch" gelöst:
    a=-3/2  d=-6  g=14           / -3/2  -6  14 \
    b=-1/2  e=-3  h=7     => B = | -1/2  -3   7 |
    c=1     f=4   i=-9           \   1    4  -9 /
    Jetzt noch A*B und B*A berechnen, wenn man allerdings "normal" die Gleichungssysteme
    gelöst hat, ohne einen Fehler zu machen, is sowieso klar, daß das Gleiche und Richtige
    (eben die Einheitsmatrix) rauskommt...
    
    ==========================================
    
    [60]
    Das Gleichungssystem löst man wieder mit Determinanten (jeweils 4x4)
    Die Hauptdeterminante D besteht aus den Koeffizienten für die
    Variablen x_1 bis x_4:
        |  1  2 -1  1 |
        |  2 -1 -1  3 |
    D = | -1  4  3 -3 | = ... (Rechenweg erspar ich mir, siehe [58]) ... = 8
        |  2  4  0  1 |
    (wäre D = 0, gäbe es für das Gleichungssystem KEINE Lösung.)
    
    Analog baut man jetzt für jede Variable jeweils eine weitere
    Determinante auf, wobei jeweils die Koeffizienten der Variable,
    die man bearbeitet, durch die Zahlen nach dem Gleichheitszeichen
    (heißen die absolute Glieder ? ;) Ich nenns halt so...) ersetzt
    werden:
            |  2  2 -1  1 |
            |  0 -1 -1  3 |
    D_x_1 = |  2  4  3 -3 | = -48
            |  1  4  0  1 |
               ^-absolute Glieder
    
            |  1  2 -1  1 |
            |  2  0 -1  3 |
    D_x_2 = | -1  2  3 -3 | = 16
            |  2  1  0  1 |
                  ^-a.G.
    
            |  1  2  2  1 |
            |  2 -1  0  3 |
    D_x_3 = | -1  4  2 -3 | = 8
            |  2  4  1  1 |
                     ^-a.G.
    
            |  1  2 -1  2 |
            |  2 -1 -1  0 |
    D_x_4 = | -1  4  3  2 | = 40
            |  2  4  0  1 |
                        ^-a.G.
    
    Die Werte für die Variablen selber berechnet man einfach, indem
    man die jeweilige Determinante D_x_1 bis D_x_4 durch die
    Hauptdeterminante teilt, und man bekommt folgende Werte:
    x_1 = -6, x_2 = 2, x_3 = 1, x_4 = 5
    (gesamtes Beispiel mit Derive überprüft)
    ...soda, 24 Stunden schlaflos reichen, gute Nacht
    Last edited by dose; 18-06-2002 at 00:08.
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  2. #2
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    ich glaub bei 56 c kommt 7 raus weil die dritte zahl beim kreuzprodukt is -9 + 2 statt -9 + 3

  3. #3
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    darf ich dir sagen, dass ich dich liebe *ggg* @dose

    erstens die lösung, zweitens SOOO FRÜH ......
    WAU

  4. #4
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    @ RupertK: Ja, stimmt, danke, auf meinem Zettel is auch ursprünglich 7 gestanden, nur daneben -9+3...das hat mich dann verwirrt zu so später Mittagszeit Habs jetzt mal oben ausgebessert !

    @ Troy: Danke für die Blumen Das passiert halt, wenn man eigentlich nur die AlgoDat Beispiele machen will, und weils dann schon so spät is und man nicht weiterkommt, beschließt, daß Schlafen e keinen Sinn mehr und dann schließlich und endlich der Tatendrang in Kombination mit viel Kaffee siegt...don't try this at home
    Last edited by dose; 18-06-2002 at 00:13.
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  5. #5
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    das letzte beispiel is komplett falsch. das hat mit determinantenrechnung nix zu tun. ich krieg folgendes raus:
    x1= -8/3, x2=4/3, x3=1/3, x4=7/3

    wenn man die werte in die ürsprüngliche gleichung einsetzt kommt auch das richtige raus

  6. #6
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    wie rechne ich Determinaten aus? like 58?
    gut, ich habe die lösung, aber wie rechne ich das aus. Gibts a Formel im Buch oder Formelsammlung?

  7. #7
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    Erm, komplett falsch nicht, eventuell isses ein Lösungsweg, der nur EINE Lösung liefert, und es gibt eventuell mehrere...ich hab das, was heute in der Vorlesung war, nicht berücksichtigt, logisch, da ich die Beispiele schon am Montag gerechnet hab. Als solches is mein Lösungsweg wie gesagt nicht komplett falsch (das mit den Determinanten is ne 08/15 Schulmethode, steht in jedem Formelheft), aber eventuell nicht die gesamte Lösung.

    Derive spuckt folgendes aus (wie gesagt, damit hab ichs kontrolliert):
    Code:
    SOLVE([a + 2·b - c + d = 2, 2·a - b - c + 3·d = 0, -a + 4·b + 3·c - 3·d = 2, 2·a + 4·b + d = 1], [a, b, c, d])
    
    [a = -6 ? b = 2 ? c = 1 ? d = 5]
    Last edited by dose; 20-06-2002 at 00:39.
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  8. #8
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    Original geschrieben von RupertK
    das letzte beispiel is komplett falsch. das hat mit determinantenrechnung nix zu tun. ich krieg folgendes raus:
    x1= -8/3, x2=4/3, x3=1/3, x4=7/3

    wenn man die werte in die ürsprüngliche gleichung einsetzt kommt auch das richtige raus
    Hm, entweder irr ich mich jetzt total, oder Deine Lösung stimmt für die letzte Gleichung doch nicht:

    Code:
    2x_1 + 4x_2 + x_4 = 1
    2*(-8/3) + 4*(4/3) + (7/3) = 1
    -16/3 + 16/3 + 7/3 = 1
    7/3 = 1 f.A.
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  9. #9
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    Gerade nochmal gerechnet, auch mitm Gauß'schen Eliminationsverfahren komm ich genau auf meine, selbe, eindeutige Lösung
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  10. #10

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    ich habs auch mit dem gauss gerechnet und es kommt ebenfalls das selbe raus wie bei dose!

  11. #11
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    also die erste Lösung vom dose is richtig.
    Bei mir kommt nämlich haargenau (bissl übertreiben schadet nie ) dasselbe raus.

  12. #12

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    also eins weiss ich wenn sowas zu prüfung kommt verrechne ich mich 983475983745 mal.


    gruss laborg

  13. #13
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    hat jemand Ahnung, wie man bei 59) A^-1, AA^-1 und A^-1A ausrechnet?
    (also Rechnweg+Ergebnis) (also eigentlich eh das ganze bsp )

    Infos an: Tr0y@uboot.com
    oder über ICQ: 139014533

    Danke im voraus
    Last edited by Troy; 21-06-2002 at 00:14.

  14. #14

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    A^T=

    -2 5 2
    4 -1 0
    0 7 3

    das ganze mit 1/2 multiplizieren


    aber bin mir bei gott nich sicher...

    lg
    laborg

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