Beispiel 51
Results 1 to 8 of 8

Thread: Beispiel 51

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Jan 2002
    Posts
    428
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts

    Beispiel 51

    Angabe:

    Man löse die homogenen Differentialgleichungen!

    (2x + 3y)dx + (y - x)dy = 0

    Lösung:

    Substitution: y/x = z => y = zx

    dy = xdz + zdx

    (2x + 3zx)dx + (zx - x)*(xdz + zdx)dy = 0
    x*(2 + 3z)dx + zx^2 - x^2dz + z^2x - zxdy = 0
    x*(2 + 3z) + x*(z^2 - z)dx + x^2 * (z-1)dz = 0
    x*(2 + 2z + z^2)dx = -x^2 * (z-1)dz
    -1/x dx = z-1 / 2+2z+z^2 dz

    -ln|x| = 1/2 * ln|2+2z+z^2| - 2arctan(z+1) + c
    -ln|x| = 1/2 * ln|2 + y/x + y^2/x^2| - 2arctan(y/x + 1) + c

  2. #2

    Title
    Hero
    Join Date
    Feb 2002
    Location
    NIRVANA
    Posts
    180
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    ad: ... +(y-x)dy

    dann einsetzen der hilfsvariable:
    ergibt:

    ....+ (zx-x)(dzx+z)
    du jedoch hast ...+ (zx-x)(dzx+z)dy
    das dy hast du doch ersetzt

  3. #3
    Heavy's Avatar
    Title
    Dipl.Ing
    Join Date
    Feb 2002
    Posts
    1,340
    Thanks
    2
    Thanked 5 Times in 2 Posts
    Ich blick nicht ganz durch wieso kommt beim Ausmultiplizieren von (zx - x)*(xdz + zdx)dy bei einigen Teil-Produkte das dz bzw. dy vor, bei den anderen wiederum nicht?
    Religion ist ein Glaube,
    Wissenschaft als Teilgebiet ist ein Glaube,
    die Wahrheit liegt in der Gegenwart des Menschen.

  4. #4
    Zentor's Avatar
    Title
    CO-Administrator
    Join Date
    Dec 2001
    Location
    Wien???
    Posts
    1,156
    Thanks
    2
    Thanked 9 Times in 6 Posts
    Das sind alles Abschreibfehler. Ich hab den
    Integral (z-1) dz / (z^2+2z+2)
    Über Sustituieren gelösst (weil ja Ableitung/Funktion):
    t = z^2+2z+2
    Integral( (z-1)dt/(2t*(z+1))= Integral(dt/2t)= 1/2 ln(t) +c =
    = 1/2 ln(z^2+2z+2) + c

    Wo kommt der arctan her? Hab ich da was übersehen?
    mfg Zentor

  5. #5
    shabby's Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Jan 2002
    Location
    Schrödinger, 1040 Wien
    Posts
    267
    Thanks
    2
    Thanked 9 Times in 8 Posts
    edit: Integral: Kaiser Analysis 1, Integrieren rat.Funktionen, Typ 3 (auf ganzes Quadrat ergänzen,substitution)


    @zentor: falsch
    Last edited by shabby; 17-06-2002 at 08:10.

  6. #6

    Title
    Veteran
    Join Date
    Apr 2002
    Posts
    18
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    @zentor:
    woher kommt das (z+1), und warum 2t???

  7. #7
    Filz's Avatar
    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Jan 2002
    Posts
    706
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    @ Zentor: Du hast übersehen, dass du (z-1) nicht mit (z+1) kürzen kannst.

  8. #8
    Zentor's Avatar
    Title
    CO-Administrator
    Join Date
    Dec 2001
    Location
    Wien???
    Posts
    1,156
    Thanks
    2
    Thanked 9 Times in 6 Posts
    Oh:eek: , tja nagut

    So gehts jetzt aber:

    Integral (z-1)/((z+1)^2+1) dz =
    Integral z/((z+1)^2+1) dz - arctan(z+1)+c
    t = z+1 z = t-1
    = Integral (t-1 dt)/ (t^2 + 1)- arctan(z+1)+c=
    =Integral t dt/ (t^2 + 1)- arctan(t)- arctan(z+1)+c=
    =1/2*ln(t^2 + 1)- arctan(t)- arctan(z+1)+c=
    =1/2*ln((z+1)^2 + 1)- arctan(z+1)- arctan(z+1)+c=
    =1/2*ln(z^2+2z+2)- 2arctan(z+1)+c


    mfg Zentor
    Last edited by Zentor; 17-06-2002 at 14:41.

Bookmarks

Posting Permissions

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts
  •