Beispiel 36
Results 1 to 10 of 10

Thread: Beispiel 36

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Jan 2002
    Posts
    428
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts

    Beispiel 36

    Angabe:

    Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maximaler Oberfläche.

    Lösung:

    O=2r^2Pi+2rPi*h -> MAX
    R^2=(h/2)^2+r^2

    L...Lamda
    GroßPhi(r,h,L)=2rPi(r+h)+L[(h/2)^2+r^2-R^2]

    dGroßPhi/r=2Pi(r+h)+2rPi+L2r=0=>Pi(r+h)+rPi+Lr=0=>Lr=-Pi(2r+h)=>
    =>L=-Pi(2r+h)/r

    dGroßPhi/h=2rPi+Lh/2=0=>4rPi+Lh=0=>Lh=-4rPi=>
    =>L=-4rPi/h

    Pi(2r+h)-4r^2Pi/h=0=>Pih(2r+h)-4r^2Pi=0=>4r^2-h(2r+h)=0=>
    =>h^2+2rh-4r^2=0
    h1,2=-r+-Wurzel r^2+4r^2 =>
    h1,2=-r+-Wurzel 5r^2=>
    h1,2=r*(-1+-Wurzel 5)

    Man braucht eigentlich nur ein h, da das zweite negativ ist und es darf ja nix negativ sein.

    =>h=r*(-1+Wurzel 5)

    L=-4rPi/4r(1+Wurzel 5) =>L=-Pi/-1+Wurzel 5

    Jetzt fehlt nur mehr noch das kleine r.

    R^2=r^2*(-1+Wurzel 5)^2/4 + r^2=>4R^2=r^2*(-1+Wurzel 5)^2 + 4r^2=>4R^2=r^2*(1-2*Wurzel 5 +5+4)=>4R^2=r^2*(10-2*Wurzel 5)=>4R^2=r^2*2*(5-Wurzel 5)=>r^2=2R^2/5-Wurzel 5)=>r=R*(großeWurzel 2 / 5-Wurzel 5)

    Im Klammerausdruck ist alles unter einer Wurzel. Darum großeWurzel.
    Last edited by djbiohazard; 05-06-2002 at 18:25.

  2. #2
    wene
    Wie kommst Du auf die Nebenbedingung? Bitte könntest Du das kurz erläutern. Wo geht die Größe der Kugel in Deine Rechnung ein?

  3. #3
    VTEC's Avatar
    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Feb 2002
    Location
    Wien
    Posts
    674
    Thanks
    0
    Thanked 1 Time in 1 Post
    O=2r^2Pi+2rPi*h -> MAX
    R^2=(h/2)^2+r^2

    O ist die Oberfläche (also 2 x Kreisfläche plus Mantel)
    R ist der Radius der Kugel
    h ist die Höhe des Zylinders
    r ist der Radius des Zylinders

    r vom Zylinder, h/2 vom Zylinder und R bilden ein Dreieck, a²+b²=c² - voila!

    r
    ______
    |........
    |.... R
    |...
    |.

    h/2

    [edit] Hier nochmal eine Draufsicht zur besseren Vorstellung (der Zylinder trifft also mit seinen "Kanten" die Kugel und hier ist die Verbindung von Kugel zu Zylinger => Nebenbedingung

    ..................****
    ..............*|-------|*
    .............*.|.........|..*
    .............*.|.........|..*
    ..............*|-------|*
    ..................***
    Last edited by VTEC; 05-06-2002 at 18:16.
    HaRdCoRe HaS JuSt BeGuN!

  4. #4
    bluefoxx's Avatar
    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Mar 2002
    Location
    Vienna
    Posts
    537
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    L=-4rPi/4r(1+Wurzel 5) =>L=-Pi/-1+Wurzel 5
    Wie kommt hier die "4" im Nenner zustande? ich setze doch das "h" bei L=4rPi/h ein, oder?

    also ich bekomme für L = -Pi*(1+sqrt5) heraus, hat das ncoh wer oder liegt da ein fehler vor? ich komm irgendwie nicht drauf...

    thx for help

    MfG

    bFXx
    Last edited by bluefoxx; 06-06-2002 at 21:14.

  5. #5
    Heavy's Avatar
    Title
    Dipl.Ing
    Join Date
    Feb 2002
    Posts
    1,340
    Thanks
    2
    Thanked 5 Times in 2 Posts
    Wie kommt man darauf dass die NB als radius der Kugel genommen wird?
    In der Angabe steht kein wort davon...

    Edit: Thx @ VTEC
    Hab deine Erklärung übersehen....
    Last edited by Heavy; 09-06-2002 at 14:10.
    Religion ist ein Glaube,
    Wissenschaft als Teilgebiet ist ein Glaube,
    die Wahrheit liegt in der Gegenwart des Menschen.

  6. #6
    leadpen's Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Mar 2002
    Posts
    481
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    kann mir jemand bitte das erklären:

    wie komme ich von dieser gleichung auf das h:

    h²+2rh-4r²=0

    glaub dass ich da a bisserl auf der leitung stehe!

    Danke Euch!


    @heavy:

    als nebenbedingung kannst du eigentlich alles nehmen; nur die variablen r und h sollten irgendwas ausdrücken.

  7. #7
    Zentor's Avatar
    Title
    CO-Administrator
    Join Date
    Dec 2001
    Location
    Wien???
    Posts
    1,156
    Thanks
    2
    Thanked 9 Times in 6 Posts
    Bei Lambda versteh ich das mit dem 4er auch nicht. r kommt mir das selbe raus, aber du musst noch h ausrechnen. Ich hab
    h = 2R*Sqrt(1-(2/(5-Sqrt(5)))

    mit dem bin ich mir noch nicht so sicher, kann das mal wer verifizieren?
    mfg Zentor

  8. #8

    Title
    Hero
    Join Date
    Mar 2002
    Location
    Landegg
    Posts
    190
    Thanks
    0
    Thanked 1 Time in 1 Post
    Original geschrieben von leadpen
    kann mir jemand bitte das erklären:

    wie komme ich von dieser gleichung auf das h:

    h²+2rh-4r²=0

    glaub dass ich da a bisserl auf der leitung stehe!

    Danke Euch!

    da gibts eine kluge formel - weiss aber leider nicht mehr wie sie heisst - nur wie sie funkt (aber das sollt ja reichen):

    x²+px+q=0

    x1,2 = -(p/2) +- Wurzel[(p/2)^2-q]


    gerald

  9. #9
    leadpen's Avatar
    Title
    Elite
    Join Date
    Mar 2002
    Posts
    481
    Thanks
    0
    Thanked 0 Times in 0 Posts
    Danke!

    Hab, Gott sei Dank, eh noch einen Geistes-Blitz vor der UE gehabt!!!

    Was sagt ihr dazu:
    Heute in der UE sagte der Prof., dass "eigentlich alle Studenten 2 Drittel der UE-Beispiele erreichen sollten".... Was immer damit gemeint ist.
    ABER 2/3 ist schon a bisserl heavy oder irre ich????

  10. #10
    steve's Avatar
    Title
    Baccalaureus
    Join Date
    Jan 2002
    Location
    planet earth
    Posts
    539
    Thanks
    14
    Thanked 2 Times in 2 Posts
    @seiti:
    das ist die kleine lösungsformel für quadratische gleichungen.

    @leadpen
    najo, würd sagen 2/3 bedeutet positiv. heavy oder nicht.
    -----BEGIN GEEK CODE BLOCK-----
    Version: 3.12
    GAT d-(+) s++: a- C++$>+$ U++>+++ P++>+++ L+++ !E W++>$ !N K? w(--)@ !O !M V? PS+ PE++(-)> Y+ PGP(+) t---(-) !5 X R- tv-(--) b++>$ DI+ D+(++) G(+) e>++++* h-- r++ y++
    ------END GEEK CODE BLOCK------ .

Bookmarks

Posting Permissions

  • You may not post new threads
  • You may not post replies
  • You may not post attachments
  • You may not edit your posts
  •