Beispiel 13
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Thread: Beispiel 13

  1. #1
    dj_m.o.h.t.'s Avatar
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    Beispiel 13

    Man bestimme die partielle Ableitungen: f(x,y)=Arctan (4x^2y^2 / 1+x+y)

  2. #2
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    Lightbulb loesungsvorschlag

    meiner meinung nach sollte folgendes stimmen:
    gesucht sind: <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>x und <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>y.
    zunaechst:
    (arctan(x))' = 1&#47;(1+x&sup2; ) und
    (f&#47;g)'=(f'&middot;g-f&middot;g')/g&sup2;
    damit sollten die partiellen ableitungen wie folgt aussehen:
    (ich schreibe nur eine auf, die andere geht eh entsprechend, indem man nach y ableitet.. ist halt doch viel arbeit, solche formeln runterzutippen.. )

    <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>x = 1&#47;{1+[4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;&#47;(1+x+y)]&sup2;} &middot; [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;]&#47;(1+x+y)&sup2;

    ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet/vertippt..

  3. #3

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    hab die gleiche lösung: (noch etwas vereinfacht)

    nach x: [(4xy^2)(2+x+2y)] / [(1+x+y)^2 + (4x^2y^2)^2]

    nach y: [(4x^2y)(2+2x+y)] / [(1+x+y)^2 + (4x^2y^2)^2]

    tät sagen, das passt so.

    .tscherno

  4. #4

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    @tscherno:
    wo ist dein 1+ ... von der arctan-regel geblieben???

  5. #5

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    Original geschrieben von Joachim
    @tscherno:
    wo ist dein 1+ ... von der arctan-regel geblieben???
    das steckt irgendwo in meinem ergebnis drinnen. wenn du die doppelbrüche auflöst und kürzt und vereinfachst kommst du dann irgendwann auf meine obigen lösungen.
    (ist 2 mal handgerechnet und maple-proofed )

    .tscherno

  6. #6
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    Meine Lösung

    f(x) = 1/1+(4x^2y^2/1+x+y)^2 = 8xy^2*(1+x+y)-4x^2y^2/(1+x+y)^2 = (1+x+y)^2/(1+x+y)^2+(4x^2y^2)^2 * 8xy^2+4x^2y^2+8xy^3-4x^2y^2/(1+x+y)^2 = 4xy^2*(2+x+2y)/1+2x+x^2+2y+2xy+y^2+16x^4y^4

    f(y) = 1/1+(4x^2y^2/1+x+y)^2 = (8x^2y)*(1+x+y)-4x^2y^2/(1+x+y)^2 = (1+x+y)^2/(1+x+y)^2+(4x^2y^2)^2 * 8xy^2+4x^2y^2+8xy^3-4x^2y^2/(1+x+y)^2 = 4x^2y*(2+2x+y)/1+2x+x^2+2y+2xy+y^2+16x^4y^4

  7. #7

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    Re: loesungsvorschlag

    <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>x = 1&#47;{1+[4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;&#47;(1+x+y)]&sup2;} &middot; [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;]&#47;(1+x+y)&sup2;
    wenn du den Klammerausdruck hier ableitest sollte nicht (f'g-fg')/g² [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2 MAL 2+y ]&#47;(1+x+y)&sup2 ergeben ? weil ich am Ende ergibt 1+x+y nach x abgeleitet doch 1+1+y ?

    Greets X :coolsmile

  8. #8
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    weil ich am Ende ergibt 1+x+y nach x abgeleitet doch 1+1+y ?
    hmm?wieso?
    1+x abgeleitet ist 1 und nicht 2.
    bloss weil die zahlen im gleichen term sind wie x heisst das nicht dass sie stehen bleiben.
    ALL GLORY TO THE HYPNO TOAD...

  9. #9
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    ich glaube du verwechselst das mit
    1
    _____
    1+x
    das ist abgeleitet -1/(1+x)²
    aber hier wird der term als 1+x+y angesehen auch wenn er im nenner steht und nicht als 1/(1+x+y)
    mfg
    Last edited by Shade; 13-05-2002 at 10:18.
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  10. #10

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    Re: Re: loesungsvorschlag

    Original geschrieben von CitizenX


    wenn du den Klammerausdruck hier ableitest sollte nicht (f'g-fg')/g² [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2 MAL 2+y ]&#47;(1+x+y)&sup2 ergeben ? weil ich am Ende ergibt 1+x+y nach x abgeleitet doch 1+1+y ?

    Greets X :coolsmile
    Da 1+x abgeleitet 1 ergibt (1 fällt als konstanter Summand weg und aus x wird 1*x^0=1) müsste meiner Meinung nach

    (f'g-fg')/g² [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2 MAL (1+y) ]&#47;(1+x+y)&sup2

    richtig sein!?

  11. #11

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    Re: Re: Re: loesungsvorschlag

    Original geschrieben von seiti


    Da 1+x abgeleitet 1 ergibt (1 fällt als konstanter Summand weg und aus x wird 1*x^0=1) müsste meiner Meinung nach

    (f'g-fg')/g² [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2 MAL (1+y) ]&#47;(1+x+y)&sup2

    richtig sein!?
    nehm alles zurück - das y wird hier ja genauso als konstanter summand gesehen!

    tja, um die zeit sollt ma halt ned mathe sondern irgendwas gscheites machen ;-)

  12. #12

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    Re: loesungsvorschlag

    Original geschrieben von lj_scampo
    meiner meinung nach sollte folgendes stimmen:
    gesucht sind: <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>x und <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>y.
    zunaechst:
    (arctan(x))' = 1&#47;(1+x&sup2; ) und
    (f&#47;g)'=(f'&middot;g-f&middot;g')/g&sup2;
    damit sollten die partiellen ableitungen wie folgt aussehen:
    (ich schreibe nur eine auf, die andere geht eh entsprechend, indem man nach y ableitet.. ist halt doch viel arbeit, solche formeln runterzutippen.. )

    <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>x = 1&#47;{1+[4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;&#47;(1+x+y)]&sup2;} &middot; [8&middot;x&middot;y&sup2;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;]&#47;(1+x+y)&sup2;

    ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet/vertippt..
    also wenn ich das richtig vertanden hab dann sollte die ableitung nach y glaub ich so auschauen:
    <FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>f/<FONT FACE=Symbol>&#182;</FONT>y = 1&#47;{1+[4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;&#47;(1+x+y)]&sup2;} &middot; [8&middot;x&sup2&middot;y;&middot;(1+x+y)-4&middot;x&sup2;&middot;y&sup2;]&#47;(1+x+y)&sup2;
    stimmt das?

  13. #13

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    Hi,

    habe ich auch so.

    lg

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