Normalverteilung Additionstheorem/Faltung Verständnisproblem
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  1. #1

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    Normalverteilung Additionstheorem/Faltung Verständnisproblem

    Hallo,

    Im Buch auf S. 235 gibt es das Additionstheorem zur Normalverteilung:

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    Zum Verständnisproblem:

    Hat man eine Standardnormalverteilung This image was created with the kind support of Paulchen und möchte dazu This image was created with the kind support of Paulchen bzw. This image was created with the kind support of Paulchen berechnen, so rechnet man mit den Formeln:

    This image was created with the kind support of Paulchen
    This image was created with the kind support of Paulchen

    Sollten die beiden Formeln nicht dasselbe ergeben, oder hab ich einen Denkfehler hier?
    Last edited by mpgo13; 14-06-2017 at 11:25. Reason: made a mistake in calculation

  2. #2

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    Da 2X bei Zufallsvariablen nicht unbedingt X+X ist.
    Intuitiv: Bei X + X werden zwei samples gezogen, es ist also zb. möglich, dass bei N(0,1) ein sample negativ und eins positiv ist - damit wird die Streuung weniger vergrößert als wenn ich konstant das sample verdopple.

    Informatiker-style:
    Code:
    import math
    import numpy as np
    
    
    num_samples = 100000
    mu = 0.0
    sigma = math.sqrt(1.0)
    
    
    x1 = np.random.normal(mu, sigma, num_samples) + np.random.normal(mu, sigma, num_samples)
    x2 = np.random.normal(mu, sigma, num_samples) * 2
    
    
    print('x1 mean: {0}, var: {1}'.format(np.mean(x1), np.var(x1)))
    print('x2 mean: {0}, var: {1}'.format(np.mean(x2), np.var(x2)))
    Results:
    Code:
    x1 mean: -0.0026297021813228095, var: 2.0018864786778816
    x2 mean: -0.0006259804027859274, var: 3.991360670914311
    (ich finde es selbst immer wieder erstaunlich, dass die Theorie sich dann bestätigt wenn man es nachbaut )

    Die Varianz bei 2X ergibt sich aus obenstehenden Formeln somit als 2^2 * 1^2 == 4.

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  4. #3

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    Cool! Danke für das nette python script @mtoman

    Wenn ich es allerdings meinem Beispiel anpasse:

    Code:
    import math
    import numpy as np
    
    num_samples = 100000
    mu = 0.0
    sigma = math.sqrt(1.0)
    
    x = np.random.normal(mu, sigma, num_samples)
    
    xplusx = x + x
    doublex = 2*x
    
    print('x+x mean: {0}, var: {1}'.format(np.mean(xplusx), np.var(xplusx)))
    print('2*x mean: {0}, var: {1}'.format(np.mean(doublex), np.var(doublex)))
    dann ergibt das:

    Code:
    x+x mean: 0.00831588561246, var: 3.98574655852
    2*x mean: 0.00831588561246, var: 3.98574655852

  5. #4

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    Eigentlich sollte mein python script bereits dein Beispiel sein - X+X sollte hier nicht als "zweimal der selbe 'gesampelte' Wert" zu verstehen, da beide X eigentlich unabhängig sein müssten, damit das so klappt:
    https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of...ndom_variables
    "Note that the result that the sum is normally distributed requires the assumption of independence"

    In deinem Fall (beide X ergeben jeweils den selben Wert) wären die beiden X komplett korreliert.
    Dann wäre es folgende Formel:

    (https://en.wikipedia.org/wiki/Sum_of...ndom_variables)

    Was bei einem Korrelationskoeffizienten von 1.0 dein Ergebnis für die Varianz ergäbe:
    1^2 + 1^2 + 2*1.0*1.0*1.0 = 4

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  7. #5

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    Vielen Dank!

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