Posts by camus


    Nachdem die Funktion e^(-(x^2 + y^2)/2) auf ganz R^2
    nichtnegativ und stetig ist, kann man das iterierte Integral
    als mehrdimensionales Integral anschreiben (das garantiert
    der Satz von Fubini aus der Masstheorie, wenn man das
    Integral als Lebesgue-Integral auffasst).


    Also:


    Nun wendet man die Transformationsformel mit der Substitution
    in Polarkoordinaten an:
    also x = r * cos (phi), y = r * sin (phi)
    Berechnung der Funktionaldeterminante:
    dx/dr = cos(phi), dx/dphi = -r*sin(phi), dy/dr = sin(phi), dy/dphi = r*cos(phi)
    Funktionaldeterminante (t sei die obige Substitution):
    det Dt (r, phi) = dx/dr * dy/dphi - dy/dr * dx/dphi = r*cos(phi)^2 + r*sin(phi)^2 = r


    Nun gilt:



    Die erste Gleichheit gilt wegen der Transformationsformel, wobei r
    der Betrag der Funktionaldeterminante von t ist. Den neuen Bereich, ueber den
    integriert wird, erhaelt man anschaulich, weil man ganz R^2 erreicht,
    indem man den Radius r von 0 bis unendlich gehen laesst, und den
    Winkel phi von 0 bis 2 Pi.


    Die zweite Gleichheit gilt, weil cos(phi)^2 + sin(phi)^2 = 1 ist.


    Die dritte Gleichheit gilt, weil man das mehrdimensionale Integral als
    iteriertes Integral anschreiben darf (Fubini).


    Die vierte Gleichheit gilt, weil die Funktion, die integriert wird, nicht von phi abhaengt.


    Die fuenfte Gleichheit gilt, weil das Integral von 0 bis 2 Pi der
    konstanten 1 Funktion = 2 Pi ist und man die Konstante vors Integral ziehen darf.


    Die sechste Gleichheit gilt, weil -e^(-r^2/2) eine Stammfunktion von r*e^(-r^2/2) ist.


    Die siebente Gleichheit ergibt sich durch Einsetzen der Grenzen.


    Bezueglich Vorwissen: Kein Ahnung, ob die Substitution in Polarkoordinaten
    im Mathematik fuer Informatiker Buch steht, wenn
    ja, dann reicht das wohl fuer die Uebung.
    Wenn man sich zusaetzlich noch Gedanken
    darueber macht, ob das sinnvoll bzw. erlaubt ist, was man rechnet, dann
    hilft einem die Masstheorie bzw. Analysis 3 bei den Mathematikern
    schon etwas bei der Loesung dieser Beispiele.

    die beweise stimmen beide, wobei der erste eleganter (weil kürzer und direkt) ist.
    also kurz gesagt:
    für alle x, y aus A gilt:
    f(x) = f(y) ==> g(f(x)) = g(f(y)) //weil g eine Abbildung ist und daher einundasselbe Element auf genau ein Element abbildet.
    ==> x = y //weil nach Voraussetzung g o f injektiv ist.
    also:
    für alle x,y aus A gilt: f(x) = f(y) ==> x = y
    also ist f injektiv

    Hallo,


    der Fehler liegt in diesen Zeilen:


    m^2 = i*n^2 Somit ist m^2 teilbar durch 'i'
    Es sei m = i*k, dann ist ...


    Es folgt nicht aus i | m^2, dass i | m gilt.
    ( | ist dabei die Teilbarkeitsrelation, d.h.
    a | b :<==> es existiert n aus Z mit b = a*n)
    Bsp: 4 | 4 = 2*2, aber nicht 4 | 2.


    Das ist eine Eigenschaft, die Primzahlen zukommt.
    Es gilt: p prim ==> (p | a*b ==> p | a oder p | b),
    in diesem speziellen Fall:
    wenn i prim ist, und i | m^2, folgt i | m oder i | m,
    also insgesamt i | m, also m = i * k für ein bestimmtes k aus Z.


    Sorry, hab in meinem Halbschlaf Jensis Post überlesen :( ...
    aber die oben erwähnte Eigenschaft von Primzahlen ist
    unabhängig davon interessant, keine Ahnung, ob die
    in den Mathe-Vorlesungen durchgenommen wird.

    Substitution: x = t^2, dx = 2t dt
    int (1/((x+1)*sqrt(x)) dx) = int (2t / ((t^2 + 1)*sqrt (t^2) dt) =
    int (2 / (t^2 + 1) dt) = 2 * arctan (t) + C = 2 * arctan (sqrt (x)) + C

    Hi, ich enttäusch Dich nur ungern, Schakal, aber die Betragsfunktion
    ist überall stetig, und nachdem x |-> x - 2 auch stetig ist, ist damit auch
    x |-> |x-2| stetig. (Differenzierbar ist sie an x = 2 nicht).


    Beweis: (gilt für alle x, y aus den reellen (bzw. komplexen) Zahlen)
    Also zuerst gilt für den Betrag mal die Dreiecksungleichung nach unten:
    ||x| - |y|| <= |x - y|, denn wegen der normalen Dreiecksungleichung
    für den Betrag gilt:
    1.) |x| = |x - y + y| <= |x - y| + |y| ==> |x| - |y| <= |x-y|
    2.) |y| = |y - x + x| <= |y - x| + |x| = |x-y| + |x| ==> |y| - |x| <= |x-y|
    also insgesamt ||x| - |y|| <= |x - y|


    Eine Funktion f ist in einem Punkt x0 stetig, wenn gilt, dass
    für alle eps > 0 ein delta > 0 existiert, sodass gilt:
    |x-x0| < delta ==> |f(x) - f(x0)| < eps.


    Auf die Betragsfunktion angewandt muss ich also zu einem beliebigen
    Punkt x0 und zu jedem epsilon > 0 so ein delta > 0 finden, dass gilt
    |x-x0| < delta ==> ||x| - |x0|| < eps. Man kann
    aber wegen der obigen Dreieckungleichung nach unten für dieses
    delta sogar unabhängig von x0 einfach eps wählen, also ist
    die Betragsfunktion sogar gleichmäßig stetig.


    x |-> x - 2 ist eine Polynomfunktion und damit stetig, und
    x |-> |x-2| ist als Hintereinanderausführung zweier stetiger Funktionen
    somit auch stetig.


    Differenzierbar ist x |-> |x-2| an x = 2 jedoch nicht, weil die
    linksseitige Ableitung an x=2 -1 ist, die rechtsseitige Ableitung allerdings +1.

    Hi graviton,


    frag wirklich am besten mal den Prof. Mlitz (falls Du ihn mal erreichst,
    der ist ein vielbeschäftigter Mann). Also wenn ich mir den
    Studienplan vom neuen Masterstudium anschau, ist der für Informatiker
    die mathematisch was draufhaben, schon zu schaffen,
    falls sie zum Studium zugelassen werden.)


    Du wirst Dich zwar drauf einstellen müssen, dass Du Dir ein bisschen
    mehr Gedanken über die Beispielchen machen musst, aber bis
    auf Komplexe Analysis und Funktionalanalysis ist da nichts wirklich
    schweres dabei, (Kommt natürlich auch auf die Wahlfächer an, die Du machst)
    und die beiden Fächer sind auch lernbar (wahrscheinlich
    mit etwas Zeitaufwand, weil Du Dir die Grundlagen dann halt
    im Selbststudium aneignen musst, es gibt aber hervorragende Bücher
    und Skripten)


    Ich hab auch mal Informatik studiert, und bereue es absolut nicht,
    auf Mathematik umgestiegen zu sein (ist viel befriedigender, nicht
    so viele dämliche unnötige Vorlesungen).


    Liebe Grüße


    cos(x)*cos(2x)*cos(4x)... cos [2^(n-1)x] = sin (2^n x) / 2^n sin(x)
    (Hinweis: sin(2x) = 2sinx*cosx)
    Wie mach ich da am besten den induktionsbeweis?:confused:


    Weiß nicht, ob das jetzt die beste Variante ist, aber sie funktioniert:


    zu zeigen ist:


    Induktionsanfang (Beweis der Aussage für n = 1):


    Also stimmt die Aussage für n = 1.


    Induktionsschritt:
    Sei nun

    derart, dass

    gilt (Induktionsannahme).
    Nun beweist man, dass aus der Gültigkeit der Gleichung für n die Gültigkeit
    für n+1 folgt (Dieser Beweis ist der Induktionsschritt):


    Es gilt Aufgrund des Hinweises:


    Nun folgt:

    laut Induktionsannahme.


    Jetzt folgt aber aus dem Hinweis:


    Also insgesamt


    Also folgt aus der Gültigkeit der Gleichung für n die Gültigkeit der Gleichung
    für n+1, und wir sind mit dem Induktionsschritt fertig.


    Und das war dann auch schon der Induktionsbeweis. Die Gleichung gilt
    also für alle natürlichen Zahlen (hier hab ichs nur ab 1 bewiesen, den
    Induktionanfang könnte man auch für n=0 machen, dann steht auf
    der linken Seite das leere Produkt, also 1, und auf der rechten Seite
    sin(x) / sin(x) = 1, also stimmts auch).

    Also ein Freund von mir studiert auf der TU Graz Telematik und ist
    eigentlich begeistert von dem Studium dort. Wenn ich Du wäre, würde ich
    Telematik studieren.


    Ich hab selber einmal an der TU Wien Technische Informatik studiert, und
    irgendwie ist das Niveau nicht wirklich das Wahre, und für meinen
    Geschmack ist der Hardwareteil doch eher oberflächlich ausgefallen. Wenn
    man schon Embedded Systems entwickelt, dann sollte man auch im Stande
    sein, die zugehörigen Schaltungen zu entwickeln oder zumindest ordentlich
    zu verstehen, dieses Wissen wird einem bei TI aber nicht vermittelt (ich
    kann leider nur vom Bakk sprechen, wie es mit dem Master-Studium
    aussieht, weiß ich nicht). Meiner Meinung nach ist aber gerade das
    Verständnis für die Elektronik wichtig, weil das Wissen, wie man die
    Systeme dann richtig programmiert kann man sich ziemlich schnell erarbeiten.
    Die Fähigkeit, wirklich gut funktionierende Elektronikschaltungen zu entwickeln,
    ist viel schwieriger zu erlernen.


    Eine gute Alternative wäre wahrscheinlich auch ein Elektrotechnikstudium.
    Da gibt es ja auch Studienzweige, die in Richtung Embedded Systems gehen.
    Kommt dann halt drauf an, auf was Du besonderen Wert legst.

    na ja, wenn du jetzt die konkrete Lösung eines Anfangswertproblems
    (also Diff.gl + Anfangswert gegeben) haben willst, dann musst du
    in die allgemeine Lösung (also das y(x)) die Anfangsbedingung einsetzen.


    Dann bekommst Du eine Gleichung, in der du die Konstante C, die ja
    in der allgemeinen Lösung einfach unbestimmt da steht, konkret für den
    Anfangswert ausrechnen kannst. Im diesem Beispiel:


    Die allgemein Lösung ist:


    Jetzt setzt du für x einfach den "Anfangszeitpunkt", also 1 ein und setzt den Funktionswert gleich dem Anfangswert, also 4


    Durch Umformen erhältst du also C = 1 und somit
    folgende Lösung des Anfangswertproblems:


    Das ist eben genau jene Funktion die sowohl die Differentialgleichung
    erfüllt, als auch die Anfangsbedingung. Wie schon vorher geschrieben
    ist die eindeutig bestimmt, weil es sich um eine lineare Diff.gl handelt.
    (Es könnte ja vorkommen, dass die Differentialgleichung mehrere Lösungen
    für einen gegebenen Anfangswert hat).

    Lösung folgender inhomogener linearer Diff.gleichung 1. Ordnung:


    Homogene Lösung:


    Integrieren auf beiden Seiten der Gleichung nach x liefert:


    Bestimmung einer partikulären Lösung mittels Variation der Konstanten:
    Ansatz:


    Einsetzen in die inhomogene DGL liefert



    Durch Integration nach x erhält man also


    und somit die partikuläre Lösung


    Insgesamt also

    (Als Summe von homogener und partikulärer Lösung)


    Da es sich um eine lineare Differentialgleichung handelt, ist die Lösung jedes Anfangswertproblems eindeutig bestimmt.


    Probe:


    Einsetzen von y(x) bzw. y'(x) in die Differentialgleichung liefert:

    Wenn du dir den Graphen von |sin(t)| und |cos(t)| ansiehst, wirst du
    merken, dass das Integral genau viermal das Integral von der 1.Halbwelle
    des Sinus von 0..Pi ist.


    Das funktioniert, weil |sin(t)| und |cos(t)| eine Periode von Pi haben. Jetzt
    kann ich Integral von |sin(t)| aufspalten in Integrale von -Pi .. 0 und von
    0 .. Pi, und die Grenzen des erste Integrals um eine Periode verschieben auf
    0 .. Pi (durch eine geeignete Substitution möglich).


    |cos(t)| = |sin(t+Pi/2)|. Wiederum durch geeignete Substitution kommt
    man also auf das Integral von -Pi/2 bis 3Pi/2 von |sin(t)|. Dieses Integral
    kann man in 3 Integrale aufspalten, nämlich von -Pi/2 .. 0, von 0..Pi und
    von Pi .. 3Pi/2.


    Die Grenzen des ersten der 3 Integrale schiebe ich um Pi nach hinten, also
    auf Pi/2..Pi, die Grenzen des letzten der 3 Integrale werden um Pi nach
    vorne verschoben, also auf 0..Pi/2. Diese beiden kann man wiederum zum
    Integral von 0..Pi |sin(t)| zusammenziehen.


    Nachdem der Sinus im Bereich von 0..Pi nichtnegativ ist, kann ich den
    Betrag weglassen.


    Also: 4 * Integral von sin(t) von 0..Pi.


    Anschaulich sieht mans wie gesagt im Graphen.

    Ich führ es mal anhand von Bsp. 267 vor:


    f ist ein Gruppenhomomorphismus von Z3^2 -> Z3^4
    d.h. für alle a, b aus Z3^2 gilt: f(a + b) = f(a) + f(b).
    Weiters ist gegeben: f(0,1) = (0,1,1,2), f(1,0) = (1,0,2,0)


    Jetzt kann man mal berechnen:
    f(0,0) = (0,0,0,0), da bei einem Homomorphismus das Bild des Einheitselements das Einheitselement sein muss.


    f(2,0) = f((1,0) + (1,0)) = f(1,0) + f(1,0) = (1,0,2,0) + (1,0,2,0) = (2,0,1,0)
    f(0,2) = f((0,1) + (0,1)) = f(0,1) + f(0,1) = (0,1,1,2) + (0,1,1,2) = (0,2,2,1)
    f(1,1) = f((1,0) + (0,1)) = f(1,0) + f(0,1) = (1,0,2,0) + (0,1,1,2) = (1,1,0,2)
    f(2,1) = f((2,0) + (0,1)) = f(2,0) + f(0,1) = (2,0,1,0) + (0,1,1,2) = (2,1,2,2)
    f(1,2) = f((1,0) + (0,2)) = f(1,0) + f(0,2) = (1,0,2,0) + (0,2,2,1) = (1,2,1,1)
    f(2,2) = f((2,0) + (0,2)) = f(2,0) + f(0,2) = (2,0,1,0) + (0,2,2,1) = (2,2,0,1)


    ich glaub das waren auch schon alle.

    ich glaube, dass das als Vektorraum über den Skalarkörper C gemeint ist.
    Also hat U die Dimension 1 und W die Dimension 2.


    Basis von U: {(1,2,3)}
    Basis von W: {(1,0,0), (0,0,1)}

    Eine Abbildung A: X -> Y vom Vektorraum X in den Vektorraum Y ist genau
    dann linear, wenn für alle x,y aus X und alle µ aus dem Skalarkörper gilt:


    1.) A (x + y) = A(x) + A(y)
    2.) A (µx) = µA(x)


    in diesem Beispiel ist X = R^3, Y = R^2 und der Skalarkörper auch R.


    A (x1, x2, x3) := (3x1 + 5x2 - x3, -3x2)


    jetzt zeigt man die beiden Linearitätseigenschaften:


    1.)
    A(x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3) = (3(x1 + y1) + 5(x2 + y2) - (x3 + y3), -3(x2 + y2)) //laut Definition von A
    =(3x1 + 5x2 - x3 + 3y1 + 5y2 - y3, -3x2 - 3y2) //Kommutativgesetz
    =(3x1 + 5x2 - x3, -3x2) + (3y1 + 5y2 - y3, - 3y2) //Vektoraddition in R2 komponentenweise definiert
    =A(x1,x2,x3) + A(y1,y2,y3) //Definition von A


    2.)
    A(µx1,µx2,µx3) = (3(µx1) + 5(µx2) - µx3, -3(µx2)) //Def. von A
    = (µ (3x1 + 5x2 - x3), µ (-3x2)) //Distributivgesetz
    = µ (3x1 + 5x2 - x3, -3x2) //Skalarmultiplikation in R2 komponentenweise definiert
    = µ A(x1,x2,x3) //Definition von A


    Man sieht also, dass die Abbildung A linear ist.

    Das ist richtig. Die Addition bildet auf der Menge keine Operation, weil, wie du schon gesagt hast, z.B. 1+1 nicht in der Menge liegt.

    Warum willst Du das in die Polarform bringen ?


    z1 = 3 - 4i
    z2 = [2, Pi /2] = 2i


    ==>
    z1 + z2 = (3 - 4i) + 2i = 3 - 2i,
    z1 * z2 = (3 - 4i) * 2i = 8 + 6i


    Mehr ist da glaub ich nicht verlangt.
    Falls Du die komplexe Zahl wirklich in Polarkoordinaten
    angeben musst, und es kommt ein häßlicher Winkel heraus,
    dann lass einfach den Arcustangens stehen. Das ist den Professoren
    lieber als eine Umwandlung in irgendwelche Dezimalzahlen.