Mathe1 (Dorfer) After Prüfung 09.03.2012

  • So, zache Dorferprüfung war zach und über dem üblichen Dorferniveau, sollte trotzdem positiv sein.


    Wie benotet Prof. Dorfer üblicherweise? Kulant oder eher streng?

  • So, zache Dorferprüfung war zach und über dem üblichen Dorferniveau, sollte trotzdem positiv sein.


    Wie benotet Prof. Dorfer üblicherweise? Kulant oder eher streng?


    eigentlich benotet er recht fair und "nett".


    - betreffend über dem normalen niveau?
    was kam ca. - hat jemand die angabe fotografiert oder im gedächtnis?

  • 1) Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion den Satz von Moivre:
    (cos(x)+i*sin(x))^n)=cos(n*x)+sin(n*x) für n e N


    2) a)War 2x2 Matrix gegeben und mann sollte Eigenwerte+Eigenvektoren dazu finden und
    b) die gewonne Erkenntnis dazu zu benutzen um mittels A^k=T*D*T^-1 (T Transformationsmatrizen, D Diagonalmatrix)
    A^k zu berechnen


    3) Dijkstra-Algorithmus auf Graphen anwenden, zuerst allgemein erklären und dann die Tabelle mit den Einzelnen schritten zeichnen, + Kantenfolge angeben


    4) Theoriefragen zu Restklassen
    ... weis ich nicht mehr genau


    5) Theoriefragen zur Stetigkeit:
    - Exakte Definition wann eine Funktion stetig ist
    - Beispiel einer unstetigen Funktion+ Graphen
    - Wie lautet der Zwischenwertsatz für stetige Funktionen
    - Sei f eine stetige Funtion auf einem Intervall. Begründen Sie hinreichend warum es eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, die ebenfalls stetig ist.

  • zach wars wirklich - ich denke ich kann weiterlernen für mai....
    graph und induktionsbeispiel gingen, der rest war eher holprig.... :(



    Ich glaube da war noch irgendwas mit Restringklassen und wann existiert bei zn eine inverses Element.


    4.)
    restklassenring modulo n , wobei n größer gleich 2 war gegeben.
    ....dazu eine frage , die mir entfallen ist. die einstiegsfrage hatte irgendetwas mit der grundlegenden definition des restklassenrings zu tun.
    weiters dann:
    wie führt man addition und subtraktion im ring durch?
    wann existiert bei (Z,.) ein inverses Element? wie berechnet man das inverse Element auf einfache weise?
    an mehr erinnere ich mich leider nicht, ich bin da ziemlich im wald gestanden. :o


    die antworten dazu findet man größtenteils hier schön zusammengefasst: http://de.wikipedia.org/wiki/Restklassenring




    1.) das induktionsbeispiel hatte noch die zusatzfrage , ob der satz v. moivre bzw. der beweis auch für Z gilt (mit begründung!) ?

  • Der Satz von moivre war (cos(x) + i * sin(x)) ^n = cos(nx)+ i * sin(nx)


    Als induktionsbehauptung hatte ich
    (cos(x) + i * sin(x)) ^(n+1) = cos((n+1)*x)+ i * sin((n+1)*x)
    aufgestellt, und bin über die summensätze mit
    (cos(x) + i * sin(x)) ^(n+1) = ( cos(nx)+ i * sin(nx) ) * (cos(x) + i * sin(x))
    wieder auf ersteres gekommen.


    Bei der Zusatzfrage ,ob der Beweis auch für Z gilt, hab ich angegeben das cos und sin auch im neg. Bereich definiert sind,
    und somit auch der satz v. moivre. Ob es auch wirklich gilt hab ich mit n= -1 und x = -pi sowie n = -2 und x = -2pi kurz nachgeprüft.


    Wie habt ihr das erste Beispiel gelöst?


  • genauso! denke das passt.


    interessieren würde mich beispiel 2 , vor allem teil b.
    und die begründung zur frage: Sei f eine stetige Funtion auf einem Intervall. Begründen Sie hinreichend warum es eine Umkehrfunktion f^-1 gibt, die ebenfalls stetig ist.

  • ich denk hier nur mal laut nach: habe im februar die analysis prüfung gemacht (und gerade noch bestanden ;) ) und überlege, ob ich jetzt mathe 1 statt algebra mache, da mir oft gesagt wurde, dass dorfer-prüfungen eigentlich angenehmer sein sollen und sich das kapitel Folgen (das ich ja schon ordentlich gelernt habe) wiederholt. allerdings bin ich aufgrund dieses threads ein bisschen verunsichert worden ...


    ich persönlich finde den stoff von mathe 1 (buch: 1.1 bis 5.2) im vergleich zu algebra (buch: 1 bis 3, 7.1 bis 7.3) eigentlich einfacher, da mich differenzengleichungen ziemlich nerven. oder hab ich da einen denkfehler?

  • ich denk hier nur mal laut nach: habe im februar die analysis prüfung gemacht (und gerade noch bestanden ;) ) und überlege, ob ich jetzt mathe 1 statt algebra mache, da mir oft gesagt wurde, dass dorfer-prüfungen eigentlich angenehmer sein sollen und sich das kapitel Folgen (das ich ja schon ordentlich gelernt habe) wiederholt. allerdings bin ich aufgrund dieses threads ein bisschen verunsichert worden ...


    ich persönlich finde den stoff von mathe 1 (buch: 1.1 bis 5.2) im vergleich zu algebra (buch: 1 bis 3, 7.1 bis 7.3) eigentlich einfacher, da mich differenzengleichungen ziemlich nerven. oder hab ich da einen denkfehler?



    es ist einfacher beim dorfer. und bei mathe 1 nach prüfungsstoff SS / dorfer gibt es weder differenzieren noch integrieren.


    dieses mal war mMn auch nicht sooo schwer - graphenbeispiel und induktion war sicherlich lösbar
    die EV der matrix auch. (wobei dorfer matrizen/gleichungssysteme bei M1 gerne gibt, und auch immer sehr ausführlich,
    darauf kann man sich find ich gut vorbereiten)


    unüblich und überraschend waren die beiden theoriebeispiele:
    normalerweise fragt dorfer hier andere sachen ab - kombinatorik ,folgen und grenzwerte, graphentheoretisches, max. noch homomorphiesatz für gruppen und wie ist eine gruppe definiert usw.
    die fragen nach stetigkeit und restringklassen in der ausführlichkeit (jeweils 8 punkte) waren - für eine dorferprüfung - echt unerwartet, und deshalb zach. böse wenn man hier gleich 16 punkte versenkt hat...dann hängt alles an den praxisbeispielen
    (und da gabs bei der zusatzfrage für bsp1 und dem b teil bei der matrix auch punkte zu verlieren).

    Edited 2 times, last by kira ().

  • meine Lösung für das 2. Bsp. - Feedback wär toll


    Angabe

    Quote


    Man bestimme alle Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix

    .
    Man stelle mit Hilfe der Ergebnisse aus A in der Form

    mit einer Diagonalmatrix D und einer Transformationsmatrix T dar und gebe damit eine Darstellung von

    an.


    man berechne:


    von diesem Ausdruck berechne man die Determinante


    durch Lösen der quadratischen Gleichung kommt man auf die Eigenwerte



    nun löst man die Gleichung


    und bekommt als Ergebnis, dass alle Eigenvektoren skalare Vielfache (!=0) der Vektoren

    für

    und

    für

    sind.


    zu b.
    lt. Spektralzerlegungssatz kann man A durch

    darstellen, wobei

    ist.


    um

    zu berechnen, formen wir den folgenden Ausdruck so um, dass auf der linken Seite dann I steht und rechts steht dann die inverse Matrix von T.



    somit ist die Darstellung von A gleich:


    und

    kann allgemein dargestellt werden als:


    lg

    "Twenty years from now you will be more disappointed by the things you didn't do than by the ones you did do. So throw off the bowlines. Sail away from the safe harbor. Catch the trade winds in your sails. Explore. Dream. Discover."
    Mark Twain

    Edited once, last by fuersti ().

  • Sorry wenn ich einen alten Thread aufwärme, aber ich wollte gerne meine Ergebnisse für das dritte Bsp vergleichen.


    "5 Würfel (Seiten mit 1-6 beschr.) werden gleichzeitig geworfen. Wie viele Würfelergebnisse gibt es, wenn:"


    a) Die Würfel unterschieden werden können


    Erg. 6^5 (Variation mit Wh)


    b) Sie nicht unterschieden werden können


    6+5-1 über 5 (Kombination mit Wh)


    c) Die würfel nicht unterscheidbar sind und alle eine andere Augenzahl anzeigen


    6 über 5 (Kombination ohne Wh)


    d) 2 Würfel rot, 3 Würfel blau sind (aber untereinander nicht unterscheidbar sind)


    6+2-1 über 2 * 6+3-1 über 2 (also 2mal b)

  • Laut Angabe ist x in R und n in N.
    n*x müsste doch in R liegen? Und in R gibt es auch negative Zahlen. Also sollte sich für ein n in Z der Wertebereich gar nicht ändern, also wieder in Z sein.
    Oder irre ich mich da?