Übungsbeispiele 40 42 43 45

  • Hallo Leute !


    Ich würde gerne wissen ob meine Beispiele so halbwegs richtig sind deswegen poste ich Sie.


    BSP.40



    INFO (Buch 207 Punkt (g))


    Substitution von

    für u wählen wir u².






    Substition durchgeführt




  • also zum 43 - weil ich das pdf bisschen kompliziert finde..


    man macht das einfach ganz gleich, wie wir das in der Vorlesung beim ln(x) gemacht haben - also mit part. Integration.
    Dafür nimmst du einfach an, dass halt 1*arccos(x) dasteht (was ja auch der Fall ist ;) )
    Dann ist g'(x)= 1 und f(x)= arccos(x) (Ableitung steht in Formelsammlung)


    Und wenn du das ganze dann ausgerechnet u angeschrieben hast, dann kannst du die Substitution aus dem pdf nehmen u voila - fertig :D




    edit: Beispiel 40 hab ich auch so :)

    Have a break - have a Kit.kate :P

  • @ kate:


    könntest du vl deinen rechengang von 43 kurz posten?
    ich habs jetz so gemacht wie du gemeint hast, aber mir bleibt am schluss ein x zu viel über bzw. ich weiß nicht genau wies kurz vorm ende weitergeht, häng irgendwie fest ^^

    :dance: kous kous - the food so nice they named it twice

  • @ kate:


    könntest du vl deinen rechengang von 43 kurz posten?
    ich habs jetz so gemacht wie du gemeint hast, aber mir bleibt am schluss ein x zu viel über bzw. ich weiß nicht genau wies kurz vorm ende weitergeht, häng irgendwie fest ^^


    ja logisch, gerne :) hab leider noch nie was in latex gmacht u mein erster versuch ist grad kläglich gescheitert - also hoffe ich, dass du das auch so lesen kannst :/




    1. Wie gesagt:[INDENT]f(x) = arccos(x)
    f'(x) = -1/(sqrt(1-x²))
    g'(x) = 1
    g(x) = x


    laut der Formel für partielle Integration ist das dann ja f(x)*g(x)-integral f'(x)*g(x) dx


    also folgt daraus:


    arccos(x)*x - integral (-1/(sqrt(1-x²))*x) dx


    [/INDENT]2. Jetzt siehst du, dass das irgendwie total blöd ist, weil du ja wieder was zum partiell integrieren hast. Naja u jetzt kommt die Substitution.[INDENT]u:= sqrt(1-x²)
    du/dx = 1/2 * (1/sqrt(1-x²)) * (-2x)
    [/INDENT](zur kurzen Erklärung: Wurzel hat ja im Prinzip Hochzeichen 1/2, 1/2 nach vorne ziehen, u von der Potenz -1 => Wurzel unter Bruchstrich, und dann noch mal innerer Ableitung)


    daraus folgt, dass[INDENT]du = -[(1/sqrt(1-x²)) * x] * dx


    [/INDENT](weil sich ja 1/2 u 2 wegkurzen)



    3. Wenn du jetzt auf das Integral schaust, wirst du sehen, dass dort genau der Ausdruck steht, den du für du berechnet hast. Halt nur mit einem Minus davor. D.h. du kannst den gesamten Term mit du ersetzen.


    also:[INDENT]arccos(x)*x - integral (-1/(sqrt(1-x²))*x) dx


    [/INDENT]ist eigentlich[INDENT]
    arccos(x)*x - integral (du)


    [/INDENT]und daraus folgt:[INDENT]
    arccos(x)*x - u + c (Konstante)


    [/INDENT]Dann noch einfach Rücksubstituieren[INDENT]arccos(x)*x - sqrt(1-x²) + c


    [/INDENT]und fertig :)


    sry, dass ichs nicht mit latex geschafft hab. Hoffe, du kannst es trotzdem lesen ;)

    Have a break - have a Kit.kate :P

    Edited once, last by .kate ().

  • [INDENT]u:= sqrt(1-x²)
    du/dx = 1/2 * (1/sqrt(1-x²)) * 2x
    [/INDENT]



    Glaube du hast hier einen kleinen Fehler, sollte die innere Ableitung von sqrt(1-x²) nicht -2x sein?


    [INDENT]arccos(x)*x - integral (-du)


    [/INDENT]und daraus folgt:[INDENT]
    arccos(x)*x - u + c (Konstante)
    [/INDENT]


    Sonst kommt hier beim integral (-du) ja -u heraus und zum schluss würde dann arccos(x)*x + u + c herauskommen.

  • Glaube du hast hier einen kleinen Fehler, sollte die innere Ableitung von sqrt(1-x²) nicht -2x sein?




    Sonst kommt hier beim integral (-du) ja -u heraus und zum schluss würde dann arccos(x)*x + u + c herauskommen.


    Danke dir - du hast natürlich recht... sry, dass hab ich total übersehen :)
    habs gleich ausgebessert!

    Have a break - have a Kit.kate :P

  • Also beim 9er ist, glaub ich, einfach nur das ganze Abzuleiten. D.h. einmal die linke Seite mit Arctan u Arcsin u einmal die rechte mit pi/4.


    Man muss sozusagen beweisen, dass Arctan + Arcsin abgeleitet 0 ergibt, weil ja pi/4 nur eine Konstante ist..


    Und Arctan u Arcsin sind eh auch in der Formelsammlung drin.

    Have a break - have a Kit.kate :P

  • Beispiel 9



    Meine Lösung:


    habe die Funktion folgendermaßen zerlegt:




    Jetzt leite ich F(x) ab, um zu zeigen dass es sich um eine konstante Funktion handelt:


    (Produktregel)



    (Kettenregel)




    (Quotientenregel)


    (Kettenregel)

    (Kettenregel)



    Zusammenfügen:



    Jetzt ist noch zu zeigen, dass

    dieser konstante Wert ist, dazu setze ich einfach 0 in F(x) ein:

    Edited once, last by epispade: - durch + bei u_N' ersetzt ().

  • mein u1=2 und
    nicht =-2


    hm du meinst also dass heißen sollte:


    A/(u-2) + B/(u-3) ?
    aber dann wär (u-2)*(u-3) = (u²-u-6) nicht richtig ... !?!


    oder versteh ich da jetzt was falsch ...

    :dance: kous kous - the food so nice they named it twice

    Edited once, last by itchy ().

  • Uff, jetzt stand ich lange aufm Schlauch... Wir hatten beide bei den Lösungen für u das falsche Vorzeichen. Nur hast du sie nachher nochmal umgedreht, so dass es insgesamt wieder stimmt *lol*. Richtig wäre
    u1=-2
    u2=3
    => (u+2)*(u-3)