CN VO Prüfung

  • Hi Leute,


    ich habe das WE die Musterprüfung ausgearbeitet (von der Website).


    Ich hoffe es schaut hier wer vorbei und kann mir bei der einen oder anderen Frage helfen bzw. Lösungen vergleichen :).


    Aufgabe 1)


    c) K1 = | (2*(x²) )/ (x² -a) | --> schlecht konditioniert wenn a sehr klein ist
    K2 = | (-1/x) )/ ((-1/x) -a) | --> schlecht konditioniert wenn a sehr klein ist
    wobei a != 0 und a > 0



    Aufgabe 2)


    c + d) Ich habe zwar nen Ansatz bin mir aber sehr unsicher bei beiden.


    ad d)
    LaUay = b --> y
    LbUbx = y --> x
    Ob das richtig ist weiß ich nicht, geht hier nicht der Vorteil verloren von LU-Zerlegung da ja LaUa = A ist. --> Ay = b.....



    Aufgabe 3)


    Allgemein hier sind Ableitungswerte gegeben, ist somit a) - d) anders zu berechnen, da man ja normalerweise von f(x) anstatt von f`(x) ausgeht?
    Muss man bestimmte Annahmen vorweg schreiben


    c) S.119 im Skript reicht die Interpolfehler formel aus mit Maximumnorm?


    d) ?? Hier ist wohl ein Verfahren gemeint welches f(x) von f`(x) approximiert ? --> Trapezformel?? wie genau anschreiben? oder total falsch?



    Aufgabe 4)


    b) O(h²) ausreichend?
    c) Modifikation, Vorschläge, Hinweise?


    Thx, Tno

  • Hi,


    Tno:
    ich versteh nicht ganz wie du auf die Konditionszahlen beim ersten Beispiel kommst. Ich glaub du hast die Konditionszahlen des falschen Problems ausgerechnet. Bei mir schaut das wie folgt aus:


    Bsp 1a) Gestalt der Newton-Iteration steht im Skriptum


    Bsp 1b) Iterationsvorschrift konkret für
    Gleichungen der Gestalt x²=a und 1/x - a


    d.h. wir suchen mit Newton Werte von x für die gilt:
    1) f(x) = x²-a = 0 (oder wie versteht ihr das?)
    2) f(x) = 1/x - a = 0


    Bei der ersten Gleichung handelt es sich um eine nach unten versetze Parabel, die sollte bei a>0 in jedem Fall zwei Nullstellen haben. Hier sollte die Newton-Iteration problemlos funktioneren. Im zweiten Fall handelt es sich um eine nach unten verschobene Hyperbel, hier wird Newton aufgrund des zweiten Astes und der Polstelle an 0 oft nicht konvergieren.


    Konkret schauen die Iterationsvorschriften hier mMn so aus:


    1) xNeu = x - (x²-a)/(2x)
    2) xNeu = x - (ax² - x) (Brüche gekürzt)


    Bleibt die Frage: Welche Bedeutung hat die exakte Lösung x (im Sinne von x=g(a)). Nun, im ersten Fall wär die exakte Lösung x = sqr(a), im zweiten Fall x = 1/a. Welche Bedeutung? Es sind die exakten Nullstellen der gegebenen Gleichungen in x. Oder was ist hier gemeint?


    Bsp 1/c) Die relativen Konditionszahlen bezügl. Störungen von a für beide Fälle:


    K = a * f'(a) / f(a)


    1) abs [ a * (sqr(a))' / sqr(a) ] = 0.5
    2) abs [ a * -(1/a²) / (1/a) ] = 1


    Die sind alles andere als schlecht. Das hieße ja, das Datenstörungen im schlimmsten Fall zu 100% in den Datenfehlereffekt propagiert werden. Das hätt ich mir schlimmer vorgestellt!?


    Für welche a würden Sie das Problem (der exakten Nullstellensuche) als schlecht konditioniert bezeichnen? Für kleine a, also in der Nähe von Null, denn da ist sowohl die Ableitung der Wurzelfunktion als auch die von 1/a am steilsten.


    Ich bin mir allerdings NICHT SICHER, ob ich die Angabe (nämlich bereits in Teil a) richtig verstanden habe. Wie seht ihr das bzw. wie habt ihr das ganze gelöst?


    Liebe Grüße
    tomm

    Thomas Mühlbacher
    Vis1 & CG1 Tutor

  • tomm so hätt ich ma des auch vorgestellt, was er genau mit der Bedeutung von x=g(a) meint weiß ich auch nicht. es sind halt die nullstellen und somit die exakte lösung von dem was wir mitm newton lösen wollen.

  • hat sich irgendwer schon Beispiel 2b angschaut?


    die absolute Konditionszahl sollte ||A|| sein weil


    ||Ax-Ax~|| = ||A*(x-x~)|| <= ||A||*||x-x~||


    aber was ist die relative Konditionszahl hier?

  • ich glaub ich habs jetz, aber ich bin ma nicht ganz sicher:


    ||Ax|| <= ||A||*||x|| -> 1/||x|| <= ||A|| / ||Ax||


    -> ||Ax-Ax~||/||Ax|| <= ||A||*||x-x~|| / ||Ax|| >= ||x-x~|| / ||x||


    des heißt eigentlich kann die relative Konditionszahl nur 1 sein....


    vielleicht hab ich mich auch vertan, is ja schon spät ;)


    Edit: ich glaub des war zu naiv... so geht des nicht ....

    Edited once, last by HoRM ().

  • tomm: ja du hast Recht, ich habe mich da total vertan bei den Konditionszahlen.
    Mein Fehler war, dass ich das falsch interpretiert habe also K(y<-x) = |x * f`(x) / f(x) |ausgerechnet habe mit f(x) = x²-a, obwohl es ja eigentlich K(x<-a) = |a * f`(a) / f(a) | ist da ja x = g(a) --> x = sqrt(a) ist.


    Habe es nachgerechnet und komme auf dieselben Ergebnisse wie du.


    Bzgl. x = g(a): ja würde ich auch so sehen, mehr kann man dazu nicht sagen/schreiben glaube ich.


    HoRM:
    hmmm ich glaube auch das mal der Weg zur absoluten so funktioniert wie du es beschrieben hast.


    bzgl. rel. K sollte es so reichen (vgl. S. 68 im Skriptum):
    ||Ax|| <= ||A||*||x|| --> 1/||Ax|| <= 1/||A|| * 1/||x||) [EDIT: FALSCH da ja hier daraus folgt --> 1/||Ax|| >= 1/||A|| * 1/||x||, stimmt also nicht...]
    somit ist K = ( 1/||A|| ) * ||A|| = 1 --> rel. Konditionszahl K = 1.


    Hoffentlich reicht das aus, aber eigentlich ist der Beweis genau so wie auf S.68 im Skriptum...? Was meinst du dazu bzw. meinen die anderen?

    Edited once, last by Tno ().

  • bzgl. rel. K sollte es so reichen (vgl. S. 68 im Skriptum):
    ||Ax|| <= ||A||*||x|| --> 1/||Ax|| <= 1/||A|| * 1/||x||)
    somit ist K = ( 1/||A|| ) * ||A|| = 1 --> rel. Konditionszahl K = 1.


    Im Skriptum is nur immer umgekehrt, weil da die Auflösung von x gesucht wird. Dadurch passt auch dein <= nicht. Weil wenn ||Ax|| <= ||A||*||x|| dann hast du 1/(kleinere Zahl) >= 1/(größere Zahl) also


    1/||Ax|| >= 1/||A|| * 1/||x||

  • ad 4c) ich weiß nicht ob ich das richtig verstanden habe, also man soll es so miodifizieren dass das Integral von a bis y berechnet wird wobei y sozusagen eine Zwischenstelle egal WELCHE im I [a,b] ist also auch wenn sie nicht genau auf einem diskreten Punkt xi liegt...?


    Wenn das so ist könnte man dann nicht einfach das darunter liegende x(i-1) suchen, also man müsste y mit den vorhanden diskreten Werten xi vergleichen --> dann sobald xi > y, x(i-1) merken --> von a bis x(i-1) Trapezformel wie gehabt für h = x(i-1) - a / (i-1);
    und zusätzlich zur Trapezformel + 1/2 *(y - x(i-1)) *( f(x(i-1)) + f(y))


    Was meint ihr???


    Trapezformel ist ja allgemein so aufgebaut zumindest für eine Berechnung eines Teilbereichs des gesamten Integrals (hier die Fläche zw. f(xi) und f(x(i+1)) ) :
    1/2 * h * ( f(xi) + f(x(i+1)) )

  • ich glaub da is eher wichtig dass nicht die funktionswerte, sonder die ableitungen angegeben sind... das heißt man braucht mindestens einen funktionswert, damit man den punkt berechnen kann...

  • @ 4c: ich würds so machen:


    z := Stützstelle, die unmittelbar vor y kommt



    Das letzte Glied ist hier das Trapez, das bei der ersten klammer zu wenig wäre.


    sieht imho ganz gut aus und tut auf jeden fall das was es soll.


    mfg poseidon


    edit: geändert von "zu weit gehen und dann abziehen" auf "zu kurz gehen und dann addieren" sonst funzts doch ned so gut


    edit2: ups das letzte trapez ist ja dann gar nicht h breit, also kann mans auch leider nicht reinziehen.

  • kannst du das genauer erklären, bzw. deinen Ansatz, weil man braucht ja nicht unbedingt die Ableitungen... ich verstehe nicht ganz wozu man unbedingt die Ableitung braucht?

  • welche ableitungen meinst du? mein ansatz ist einfach, dass ich die trapezregel mit schrittweite h genau bis zu der stützstelle mache, die vor y kommt, und anschließend das kleine stück das mit noch fehlt dazu addiere.


    mfg poseidon

  • sorry, hab mich vertan, hab irgendwie 3d gmeint ;)


    des 4c sollt so passen wies Poseidon gschrieben hat


    edit: des mitm abziehn passt aber noch nicht ganz, weil die breite von dem trapez was du abziehst ja nicht h ist, sondern auf jeden fall kleiner, da es irgendwo dazwischen liegt, also eigentlich statt h (z-y)

    Edited once, last by HoRM: erkenntnis ().