Beispiel 34

  • transformation meint hier unter anderem den Übergang ins komplexe Zahlenbereich, wobei du substituierst:


    x = r * cos(phi)
    y = r * sin(phi)


    Was man jetzt nicht vergessen darf sind die Grenzen der Substition anzupassen


    0 <= r <= unendlich
    0 <= phi <= 2*pi (weil nach 2pi sind wir einmal im Kreis gegangen)


    Eine Transformation an sich ist nichts anderes als eine Abbildung. Definitionsbereich --> Bildbereich. Wenn sich durch die Transformation Vorteile ergeben, kannst du im Bildbereich oft eine einfache Lösung finden, die du, durch eine Rücktransformation, wieder in den Definitionsbereich abbilden kannst und somit das gesuchte Ergebnis erhälst. Für dieses Beispiel ist eine Rücktransformation nicht notwendig, da das ergebnis 2 pi ist und wir alle wissen, dass 2pi (als Ergebnis der Rücktransformation ins reele) = 2 * 3.141592653.... ist.


    Vorkenntnisse f. d. Beispiel: Substitution bei Integralen und Definitionsbereich berechnen, Integrieren und Berechnungen als Beweis interpretieren können, also alles, was wir schon können sollten. Mehr ist das nicht.


  • Nachdem die Funktion e^(-(x^2 + y^2)/2) auf ganz R^2
    nichtnegativ und stetig ist, kann man das iterierte Integral
    als mehrdimensionales Integral anschreiben (das garantiert
    der Satz von Fubini aus der Masstheorie, wenn man das
    Integral als Lebesgue-Integral auffasst).


    Also:


    Nun wendet man die Transformationsformel mit der Substitution
    in Polarkoordinaten an:
    also x = r * cos (phi), y = r * sin (phi)
    Berechnung der Funktionaldeterminante:
    dx/dr = cos(phi), dx/dphi = -r*sin(phi), dy/dr = sin(phi), dy/dphi = r*cos(phi)
    Funktionaldeterminante (t sei die obige Substitution):
    det Dt (r, phi) = dx/dr * dy/dphi - dy/dr * dx/dphi = r*cos(phi)^2 + r*sin(phi)^2 = r


    Nun gilt:



    Die erste Gleichheit gilt wegen der Transformationsformel, wobei r
    der Betrag der Funktionaldeterminante von t ist. Den neuen Bereich, ueber den
    integriert wird, erhaelt man anschaulich, weil man ganz R^2 erreicht,
    indem man den Radius r von 0 bis unendlich gehen laesst, und den
    Winkel phi von 0 bis 2 Pi.


    Die zweite Gleichheit gilt, weil cos(phi)^2 + sin(phi)^2 = 1 ist.


    Die dritte Gleichheit gilt, weil man das mehrdimensionale Integral als
    iteriertes Integral anschreiben darf (Fubini).


    Die vierte Gleichheit gilt, weil die Funktion, die integriert wird, nicht von phi abhaengt.


    Die fuenfte Gleichheit gilt, weil das Integral von 0 bis 2 Pi der
    konstanten 1 Funktion = 2 Pi ist und man die Konstante vors Integral ziehen darf.


    Die sechste Gleichheit gilt, weil -e^(-r^2/2) eine Stammfunktion von r*e^(-r^2/2) ist.


    Die siebente Gleichheit ergibt sich durch Einsetzen der Grenzen.


    Bezueglich Vorwissen: Kein Ahnung, ob die Substitution in Polarkoordinaten
    im Mathematik fuer Informatiker Buch steht, wenn
    ja, dann reicht das wohl fuer die Uebung.
    Wenn man sich zusaetzlich noch Gedanken
    darueber macht, ob das sinnvoll bzw. erlaubt ist, was man rechnet, dann
    hilft einem die Masstheorie bzw. Analysis 3 bei den Mathematikern
    schon etwas bei der Loesung dieser Beispiele.