Bsp 12 SS08

  • Mein Ansatz zu Beispiel 12, das scheinbar neu ist und noch nicht im Mathewiki aufgelistet wird. Die Lösung habe ich überall gefunden, allerdings bin ich mir nicht sicher ob dies gilt. In der Angabe steht zwar nicht explizit das man das beweisen muss, aber das will ja noch nichts heißen


    Angabe: Man bestimme alle

    , für welche die Prädikate

    bzw.

    in eine wahre Aussage übergehen.


    a)


    b)


    c)

    (m ist durch 10 teilbar)


    Zu a)


    Da

    sehr schnell ansteigt, hab ich die einfach eingesetzt:


    Per Definition, falsch

    wahr

    wahr

    falsch


    Auch für alle

    ist der Ausdruck nicht mehr wahr.


    Lösung:

    gilt für alle

    .


    Zu b)
    Der Ausdruck ist eine Implikation, zuerst zum Ausdruck A (links).


    Das kleinste n für das das Prädikat gilt ist n = 6, für alle n >= 6 gilt es natürlich auch. Die Frage ist ob eine Ausprobierlösung für die Übung reicht, deshalb hab ich mal eine vollst. Induktion versucht: (In der überarbeitenden Lösung eigentlich überflüssig)


    Induktionsanfang:

    gilt


    Induktionsvorraussetzung:


    Induktionsschritt:





    Damit ist bewiesen das der Ausdruck A für alle

    gilt, da der positive Anteil exponentiell steigt und der negative nur linear. Ausdruck B ist für alle

    wahr.


    Die Implikation sagt aus das man aus etwas richtigem nur richtiges folgern kann, aber aus etwas falschem beliebiges. Also gilt die Ausdruck immer wenn Ausdruck B wahr ist. Also:


    c) Es werden alle Paare (m,n) gesucht. Der Ausdruck ist eine Implikation also er ist wahr wenn entweder die linke Seite falsch ist (aus etwas falsches kann beliebiges gefolgert werden) oder die linke und die rechte Seite wahr sind (aus etwas wahrem kann nur etwas wahres gefolgert werden).


    Rechte Seite:
    Ich hab mir das so überlegt das es ab

    gelten muss, da dann immer mit

    multipliziert wird (

    für

    ist

    ) und die Zahl daher durch 10 teilbar sein muss.


    Für folgende Paare gilt der (gesamte) Ausdruck nicht: (1,0), (1,1), (2,2), (6,3), (24,4)


    Die Lösung lautet daher:


    Edit 12.04.08: Komplett richtige Lösung (laut LVA-Leitung), steht zwar schon im weiter unten im Beitrag, aber alles an einer Stelle ist besser.

  • Bei b würd ich sagen

    . Für

    ist die Aussage offensichtlich richtig. Und für

    ist

    größer 0 und monoton wachsend... die Aussage also falsch.


    laut angabe muss man ja nur die n finden für die die aussage gilt die kleiner gleich 10 sind. also muss man für n > 10 ja auch nichts beweisen.


    edit: außerdem steigt (wie ich oben erwähnt habe) der positive teil schneller als der negative, also gilt es sowieso für alle n >= 6.



    a sollt man vielleicht mit vollst. Ind. machen... in der art etwa: (n-1)!>(n-1) ==> n! = n*(n-1)! > n


    ok, danke, ich werd mir das noch anschauen.

  • laut angabe muss man ja nur die n finden für die die aussage gilt die kleiner gleich 10 sind. also muss man für n > 10 ja auch nichts beweisen.


    Ich wollte eigentlich nur herausstreichen, dass es wegen dem letzten Folgepfeil offensichtlich richtig ist. (...) --> (n < = 10) ist immer wahr wenn (n < = 10), wurscht was vor dem --> steht. Da muss man garnicht mehr zeigen.

  • Hallo,
    bezüglich 12 a)
    P(a) ist wahr für 0< n <= 2 , weil 0! =1 < 0 nicht gilt.

    12 b)
    Aussage A: n^2-5n-6 >= 0
    B: n<= 10;

    A -> B ist gleichbedeuten mit (nicht A oder B) gleichbedeuten nicnt(A und (nicht B) );

    nicht (n>=6 und n>10) = nicht (n>10) = n<=10.

  • hallo !

    würde also bedeuten das bei 12 b) bis n=10 "wahr" das ergebnis ist?
    weil ja die "rechte" (n<=10) aussage bis dahin immer "wahr" ist und bei "links" -> "rechts" immer wahr herauskommt sobald rechts "wahr" ist -oder? (unabhängig ob links "wahr" oder "falsch")

    (hui! ich hoffe ihr versteht was ich meine...)

    greetings !

    The world won't end in 2012,
    Marty McFly has been to the year 2015.

  • zu b)



    genau, das hat HotBlackDesiato die ganze zeit versucht mir zu erklären (und irgendwann hab ichs dann auch geschnallt).


    bei dem ausdruck handelt es sich um eine implikation, dh: aus etwas wahrem kann nur wahres folgen aber aus etwas falschem kann beliebiges folgen. also ist es vollkommen egal was links raus kommt, alle

    sind richtige lösungen.



    warum gilt

    nicht?



    a sollt man vielleicht mit vollst. Ind. machen... in der art etwa: (n-1)!>(n-1) ==> n! = n*(n-1)! > n


    übers wochenende mathe ein wenig ausgeklammert, aber jetzt frage ich mich ob eine vollständige induktion sinnvoll ist wenn es sowieso nur für 3 zahlen gilt?

  • Hallo

    Die Lösung für c) mit n >= 5 kann nicht stimmen.
    Für alle m die durch 10 teilbar sind ist die aussage sowieso war, da dann die rechte Seite der Implikation wahr ist -> ergibt immer wahr
    Wenn m allerdings ungerade ist muss ja auf der linken Seite nur eine falsche Aussage stehen und die Implikation ist wieder wahr, da dann auf beiden Seiten falsche steht -> ergibt wahr

    Das Beispiel dürfte also wesentlich komplexer sein. Hab leider auch noch keine Lösung.

    Edit: Eigentlich müsste die Aussage für alle Tupel außer (1,1), (2,2), (6,3) und (24,4) stimmen.

  • Hallo
    ...
    Edit: Eigentlich müsste die Aussage für alle Tupel außer (1,1), (2,2), (6,3) und (24,4) stimmen.


    Ja... stimmt.
    Wenns bei c links vom

    falsch (

    ) ist
    stimmt die Aussage soundso. Und wenn

    , dann musses rechts vom

    auch stimmen... das is aber erfüllt wenn

    ...
    Das heisst für alle

    mit

    stimmts und für

    muss man alle paare herausnehmen wo

    ...
    darum für alle paare ausser die von Bianconeri oben genannten



    ...
    übers wochenende mathe ein wenig ausgeklammert, aber jetzt frage ich mich ob eine vollständige induktion sinnvoll ist wenn es sowieso nur für 3 zahlen gilt?


    um zu zeigen dasses für alle n>3 nicht gilt...
    eigentlich eh dafür dass n nur <=10 ist wurscht, aber da's eh so schnell geht...


    Ind. Anfang:
    n!>n gilt für n = 3
    Ind. Annahme:
    n!>n
    Ind. Schluss:
    (n+1)! > n+1
    (n+1)! = n! * (n+1) > n*(n+1) > n + 1


  • ah ok. aber:
    (1,1), (2,2), (6,3) und (24,4)
    bedeutet ja nichts anderes als (m,n) und durch die lösung "gilt für alle

    " sind diese ja sowieso ausgenommen, oder?


    edit: die grundidee dieses beispieles ist ja das die linke seite immer wahr ist, deshalb muss auch die rechte immer wahr sein.


  • edit: die grundidee dieses beispieles ist ja das die linke seite immer wahr ist, deshalb muss auch die rechte immer wahr sein.



    ...damit "wahr" als ergebnis kommt. (sie "muss" ja nicht wahr sein ;) )
    so hab' ich das eigentlich auch gesehen...

    greetings !

    The world won't end in 2012,
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