1.10b) (Buch)

  • Ich hab leider keine Lösung im Forum gefunden, obwohl ich weiss ich hab schonmal die Lösung dazu im Forum gesehen.


    Kann mich leider nichtmehr erinnern wie das funktioniert hat (modulo schätz ich). Vielleicht kann mir ja jemand helfen.


    "Man bestätige die Richtigkeit der folgenden Behauptung: Ist die Summe m+n zweier Zahlen m,n e Z ungerade, dann ist genau einer der beiden Summanden ungerade -mittels eines Indirekten beweises"

  • Gegebehauptung: Ist die Summe n+m ungerade, so sind entweder beide gerade, oder beide ungerade.
    Wenn m und n gerade sind, dann gilt 2 teilt m und 2 teilt n. Wenn die Summe ungerade ist, dann teilt 2 m+n+1. Also müsste gelten n+m=m+n+1 modulo 2, was falsch ist.
    Wenn beide ungerade sind, dann teilt 2 m+1 und n+1, also ach m+n+2, also auch m+n, also müsste gelten m+m=m+n+1 module 2, was falsch ist.


    Lg, Axel.

  • Ich hab noch eine Frage zu einem ähnlichen Bsp.:


    "Ist das Quadrat n² einer ganzen Zahl neZ gerade, dann ist auch n gerade - mittels eines indirekten beweises"


    Also:
    Annahme:
    n² mod 2 = (n+1)mod2
    mittels einsetzen würde sich nun leicht zeigen lassen, dass das falsch ist.
    Nehme aber nicht an, dass einsetzen der gewünschte Weg ist..


    (n² - n - 1) mod 2 = 0
    n(n-1) -1 mod 2 = 0


    -> ? so komm ich auch nicht recht weiter

  • Ansatz: In der Primfaktorzerlegung einer geraden Zahl kommt 2 vor, einer ungeraden nicht. Im Quadrat einer geraden Zahl kommt also 2^2 vor, in einer ungeraden nicht. Das Quadrat einer ungeraden Zahl ist ungerade, dass einer geraden Zahl gerade.
    Gegenbeis: "ist das Quadrat n^2 einer ganzen Zahl gerade, dann ist n ungerade" Aus n^2 ist gerade folgt 2 teilt n^2, also 2 teilt n. Aus n ist ungerade folgt 2 teilt nicht n. Widerspruch!


    Lg, Axel.