• hallo!


    um zu bestimmen, dass eine Relation eine Äquivalenzrelation ist, muss man ja zeigen, dass sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.


    auf die gefahr hin, dass alles kompletter unsinn ist:
    reicht es jetzt, das anhand eines Beispiels zu zeigen?


    also zum beispiel 3 elemente aus z a = 2, b = 1, c = 3


    R:


    S:


    (womit auch das Element 3 erklärt wäre, was ja laut Angabe teil der Menge ist, wenn ich das so richtig verstanden hab)
    T:




    und wie schauts da mit der Partition aus wie bestimm ich die?


    bitte um Hilfe, ich stock da irgendwie
    danke, lg Billy


  • auf die gefahr hin, dass alles kompletter unsinn ist:
    reicht es jetzt, das anhand eines Beispiels zu zeigen?


    Nein, in der Angabe steht, dass man Zeigen muss dass es für alle a,b Element Z gilt, nicht nur für spezielle.


    Reflexiv (aRa für alle a aus Z):
    aRa <=> 3|a^2-a^2 = 3|0 wahre Aussage


    Symmetrisch (wenn aRn =>bRa für alle a,b aus Z):
    3|a^2-b^2 => 3|b^2-a^2
    Sei x = a^2-b^2. Man weiss dass 3|x. Aus x = a^2-b^2 folgt -x=b^2-a^2.
    Wegen 3|x gibt es ein n mit x=3*n, also auch ein -n mit -x=3*-n, also teilt 3|-x, also auch 3|b^2-a^2.


    Transitiv(aRb und bRc => aRc):
    Aus aRb folgt 3|, aus bRc folgt 3|b^2-c^2.
    Sei x=a^2-b^2 und y=b^2-c^2.
    Da 3|x und 3|y muss auch gelten 3|x+y.
    x+y = (a^2-b^2) + (b^2-c^2) = a^2-b^2 + b^2 - c^2 = a^2-c^2,
    also 3|a^2-c^2 als aRc.



    Lg, AXEL.

  • hab auch soweit gecheckt, wie ich zeige, dass das ganze eine äquivalenzrelation ist. aber wie bestimme ich die partition? das versteh ich irgendwie nicht ganz. kann mir wer da bitte weiterhelfen?

    wer nie fragt, stirbt dumm

  • dass das ganze eine äquivalenzrelation ist. aber wie bestimme ich die partition?


    Eine Äquivalenzrelation bildet immer automatisch Partitionen. Du suchst einfach von jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter und hast dann eine Klasse, so lange, bis man alle Klassen hat.


    Aus dem Bauch raus bei 3|irgendwas werden die Klassem sein [0], [1], [2] mit
    [0] = {...,-6,-3,0,3,6,...}
    [1] = {...,-5,-2,1,4,7,...}
    [2] = {...,-4,-1,2,5,8,...}


    Lg, Axel.

  • Blödsin! Es sind natürlich die Restklassen der Paare (a,b) gefragt!
    Allso alle Paare (a,b) die den Rest 0 haben bilden eine Klasse, die 1 haben eine , und die 2 haben:
    [(0,0)] = {(a,b) mit 3|a^2+b^2 + 0}
    [(1,1)] = {(a,b) mit 3|a^2+b^2 + 1}
    [(1,0)] = {(a,b) mit 3|a^2+b^2 + 2}
    Lg, Axel.

  • wo ist denn der fall [(0,1)]? bzw. ich versteh nicht ganz was zb [(1,0)] heißen soll - ist das das paar a=1, b=0 oder was anderes? :s
    und - es soll heißen 3|a²-b²... oder?


    Dann halt 3|a²-b². Ich hätte es so aufgefasst, dass alle Paare (a,b) die den gleichen Rest haben eine Klasse bilden.


    Lg, Axel.

  • Ich hoff ich hab das nun endlich verstanden: Sprich die Partitionen wären dann:


    0 quer = { ...,-6,0,6,12,18,...}
    1 quer = { ...,-5,1,7,13,19,...}
    2 quer = { ...,-4,2,8,14,20,...}
    3 quer = { ...,-3,3,9,15,21,...}
    4 quer = { ...,-2,4,10,16,22,...}
    5 quer = { ...,-1,5,11,17,23 ...}


    Sind diese Partitionen gleichzeitig die Restklassen?

  • Man kann auf jeden fall schließen das a^2 kong b^2 sein muss
    denn:


    wenn 3|a^2 -b^2 dann 3 |a^2 und 3|-b^2.


    a^2 ist also = 3*n n Element Z
    3|3*n -b^2


    würde würde -b^2 nun nicht in der Restklasse 0 oder in der selben von a liegt (Äquvivalente Aussage) hätten wir ein Problem,
    da a^2 mod 3 = 0 sein muss -b^2


    Daher kann man die Relation wie folgt umformen a^2 kongr b^2 mod 3
    Hier ist es sogar einfacher die Bedingungen für eine Äquivalenzrelation zu zeigen bzw. das folgt schon aus der Kongruenz :D
    Da ich die Angabe nicht genau kenne weiß ich jetzt nicht was mit die Partitionen gemeint ist.


    mfg Schakal

  • Man kann auf jeden fall schließen das a^2 kong b^2 sein muss
    denn:

    wenn 3|a^2 -b^2 dann 3 |a^2 und 3|-b^2.



    aber z.B. a = 2 und b = 1 : 2² - 1² = 3
    3|3, 3 teilt aber weder a² noch -b²

    a kongr. b mod m heißt ja nur dass m | b-a (laut Buch Seite 19)

    lg

  • Da wir festgestellt haben, dass das gleich bedeutend mit den Restklassen mod 3 ist, können wir die Angabe auch als 3| a^2+2b^2 schreiben. Oder einfach 3b^2 addieren (ist ja durch drei teilbar).


    mfg Schakal


  • Hoppla - ich hab ja die Restklassen von dem 6 | a^4-b^4 hineingeschrieben... :distur:


    Stimmen die wengistens?

  • Die Restklassen stimmen :D. Die stimmen auch für nur a,b. Aber a^4 muss nicht in der selben Restklasse wie a liegen.
    Wer vielleicht noch immer Probleme mit Restklassen hat kann sich ja folgendes überlegen.


    Modulo m fasst alle Zahlen mit dem gleichen Rest bzgl. der Division a/m in eine Restklasse. Die Divioson könnte wie folgt aussehen:
    m... Modul
    a... Zahl


    a=q*m+r1
    Ist der Rest 0 ist a durch den Modul teilbar. q ist da der Quotient.
    Ist nun b=p*m+r2


    und a kongr b mod m --> r1=r2 oder q*m+r1 -p*m-r2 = q*m-p*m=(q-p)*m kongr 0 mod m. Logisch da durch m teilbar.
    Wären beide beide Reste von einenader verschienden also a nicht kongr b mod m


    q*m+r1 -p*m -r2 = (q-p)*m +(r1-r2) --> a-b nicht kongr 0 mod m und somit nicht durch m teilbar. Das kann entweder die Restklasse a oder b sein oder eine andere (!=0).


    Und solage man mit Restklassen rechnet kann dadruch jeder beliebige Vertreter einer Restklasse gewählt werden (z.B. in Z3(=mod 3) für 5 kann 2 gewählt werden), da am Ende nur der Rest von Bedeutung ist und der verändert sich bei einem Vetreter der selben Restklasse nicht.



    mfg Schakal