• in der vorlesung wurde da es irgendwie zuerst für y=x und dann für y= -x eingesetzt. daher hab ich das auch mal so probiert:
    f(x,x) = 0/(2*x^2) = 0
    f(x, -x) = (2*x^2)/0 ist ungleich würd ich mal sagen und daher
    nicht stetig?

    Knowledge is power. That is especially felt by those, who don´t have it.

  • hab mir das beispiel jetzt noch nicht so genau angeschaut, aber die funktion ist doch im Punkt (0,0)=0.
    also was willst du da einsetzen?


    oder denke ich jetzt irgendwie falsch?:confused:

  • naja, in der vorlesung wurde es bei einem sehr ähnlichen beispiel so gemacht, da ist bei
    f(x,x) = 1
    f(x, -x) = -1 rausgekommen, und meinte dann, dass es daher nicht stetig an der stelle 0 ist...

    Knowledge is power. That is especially felt by those, who don´t have it.

  • naja meiner meinung nach kommt bei beiden 0 heraus.. x=y:
    (x^2 - x^2) / (x^2 + x^2) = 0 / 2x^2 = 0
    bei x = -y:
    (x^2 - (-x)^2) / (x^2 + (-x)^2) = (x^2 - x^2) / (x^2 + x^2) = 0 / 2x^2 = 0
    das heißt dass die grenzwerte an beiden stellen gleich sind .. aber ich weiß nicht ob das hinreichend ist oder nur notwendig.. es is ja immer leichter zu zeigen dass etwas nicht gilt als das etwas gilt.. da braucht man ja nur ein gegenbeispiel..

    CG1LU Tutor
    CG2LU Tutor

  • hi,
    das problem is, das man in dieser darstellungsform nichts über die stetigkeit im punkt (0,0) aussagen kann, weil der der nenner einfach nicht definiert ist. deshalb hab ich die gleichung in polarkoordinatenform dargestellt. nach bilden des grenzwertes ergibt sich eine abhängigkeit vom winkel. sprich, unterschiedliche winkel führen zu unterschiedlichen grenzwerten. daraus folgt, dass die funktion in (0,0) unstetig sein muss.

  • hmm.. gibts dazu irgendein schema/vorlage nach der du vorgegangen bist.. bzw steht dazu irgendetwas im skriptum, oder hast du einfach ausprobiert?
    welche "Gleichung" meinst du und wie hast du die in polarkoordinaten umgeformt?

    CG1LU Tutor
    CG2LU Tutor

  • ich hab die kartesischen koordinaten in polarkoordinaten umgewandelt. also cos(phi) = x / r und sin(phi) = y / r. dann entsprechend einsetzen was zu f(0,0) = (r² * cos²(phi) - r² * sin²(phi)) / (r² * cos²(phi) + r² * sin²(phi)) führt. jetzt den grenzwert für r gegen 0 bilden. das ergibt bei mir cos(2*phi). man sieht also, dass der grenzwert nicht eindeutig ist. wenn man zb phi = r setzt ergibt sich 1, wenn man phi = 1 setzt ergibt das aber cos(2). wäre die funktion in (0,0) stetig, müsste es meiner meinung nach genau einen grenzwert geben. keine ahnung ob das der "standardlösungsweg" ist .. im skriptum steht glaub ich nix davon.


    edit: hab nochmal darüber nachgedacht. die bedingungen, dass es nur einen grenzwert geben kann ist nicht hinreichend. dieser eine grenzwert muss auch genau dem funktionswert in (0,0), also 0, entsprechen.

  • ich hab die kartesischen koordinaten in polarkoordinaten umgewandelt. also cos(phi) = x / r und sin(phi) = y / r. dann entsprechend einsetzen was zu f(0,0) = (r² * cos²(phi) - r² * sin²(phi)) / (r² * cos²(phi) + r² * sin²(phi)) führt. jetzt den grenzwert für r gegen 0 bilden. das ergibt bei mir cos(2*phi). man sieht also, dass der grenzwert nicht eindeutig ist. wenn man zb phi = r setzt ergibt sich 1, wenn man phi = 1 setzt ergibt das aber cos(2). wäre die funktion in (0,0) stetig, müsste es meiner meinung nach genau einen grenzwert geben. keine ahnung ob das der "standardlösungsweg" ist .. im skriptum steht glaub ich nix davon.


    edit: hab nochmal darüber nachgedacht. die bedingungen, dass es nur einen grenzwert geben kann ist nicht hinreichend. dieser eine grenzwert muss auch genau dem funktionswert in (0,0), also 0, entsprechen.


    Hallo,


    könntest du mir Schritt für Schritt erklären wie du den Grenzwert berechnet hast?
    Ich habe versucht, den mit Maple zu berechnen, bekomme als Ergebnis 2*cos(phi)^2 - 1 heraus :confused:


    Habe im Anhang ein Bild vom 3D-Plot aus Maple angehängt

  • Hi
    Was ist hiermit


    Limes Berechnung x,y gehen gegen 0


    ergibt


    De l Hospitalsche Regel 2 mal anwenden ergibt


    Also stetig in der Umgebung von 0 ?

    "Patriotism is the willingness to kill and be killed for trivial reasons."
    Bertrand Russell.

  • EDIT: sorry, stimmt natuerlich doch nicht,d ie angabe war nur fast gleich.... ich lass es trotzdem stehen zzum vergleich
    die angabe in dem fall war xy(x^2-y^2/x^2+y^2)


    ich hab genau das bsp in einem buch gefunden, dort ist es folgendermaßen geloest
    fuer x,y ungleich 0 ist f stetig als quotient von stetigen funktionen
    fuer x,y = (0,0)
    wird das ganze in polarkoordinaten umgewandelt
    x = r. cos phi
    y = r. sin phi -->


    f(x,y) = r^4 cos phi sin phi (cos^2 phi - sin^2 phi)/r^2


    |f(x,y) - f(0,0)| = |1/2 r^2 sin 2phi cos 2phi| <= 1/2 r^2, (sin 2phi = 2 sin phi cos phi) (cos 2 phi = cos^2 phi - sin^2 phi)


    --> lim ((x,y)-->(0,0)) f(x,y) = lim(r->0) 1/2 r^2 sin 2phi cos 2phi =0


    --> f ist überall stetig

  • Nicht stetig - folgender Satz ist hilfreich:
    "Die mehrfachen Limites sind nicht notwendigerweise gleich. Obwohl sie gleich sein müssen, wenn

    existiert, impliziert ihre Gleichheit nicht die Existenz dieses Limes."





    Verschieden ->

    existiert daher nicht ->

    nicht stetig in (0,0)

  • De l Hospitalsche Regel 2 mal anwenden ergibt


    Also stetig in der Umgebung von 0 ?


    Ja, so habe ich das zur Übung auch vorbereitet gehabt:)... ich steh' auf einfache Lösungen...
    Nach der Übung ist man (wie immer) g'scheiter(t)::(


    Für l'Hospital muß die Fkt. im fraglichen Intervall differenzierbar sein (siehe Vorlage:Regel von l'Hospital), Differenzierbarkeit ist aber eine strengere Eigenschaft als Stetigkeit.
    Man müßte also erst die Diff'barkeit im Punkt (0,0) beweisen, bevor man l'Hosp anwenden darf.


    Nachdem wir jetzt wissen (Danke, INDi), daß die Fkt in (0,0) unstetig ist, ist sie dort auch nicht diff'bar, und l'Hosp nicht anwendbar.
    Mist, blöder.


    Sorry, lg

  • f ist stetig in der Umgebung von (0,0), allerdings nur wenn man sich von der Diagonale nähert (x,y) | x=y. wenn mann zum Beispiel von der x Achse kommt, (x,y) | x=1,y=0 und x lauft gegen 0, dann bekommt man ein anderer Grenzwert, nähmlich 1. da die Grenzwerte in der Konvergenzradius alle gleich sein müssen, um behaupten zu können dass die Funktion in der Umgebung von 0 stetig ist, ist es nicht stetig.


    Wir haben zufällig den einen Fall erwischt, in dem der Grenzwert 0 ist, und glaubten es wäre in allen fällen so.

    "Patriotism is the willingness to kill and be killed for trivial reasons."
    Bertrand Russell.