Bsp 66

  • Für welche komplexen Zahlen gilt: z' = 1/z
    Als z' bezeichne ich die konjugiert komplexe von z.


    z' = 1/z
    a - bi = 1/(a + bi) | *(a + bi)
    (a - bi) * (a + bi) = 1
    a^2 + abi -abi - (bi)^2 = 1
    a^2 - b^2*i^2 = 1
    a^2 + b^2 = 1 | sqrt
    sqrt(a^2 + b^2) = 1
    sqrt(a^2 + b^2) ist der Betrag von z.


    Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.


    Lg, AXEL.

  • nice von dir die lösungen zu posten
    hab das beispiel auch schon gerechnet passt auf jedenfall so :)


    man könnte noch sagen das sind alle komplexen zahlen der gestallt [1,PHI] oder 1*(cosPHI+i*sinPHI), könnte nützlich fürs verständis sein :)

    Markus Ernst
    CGUE-Tutor

  • Ich verstehe das nicht ganz.


    Wenn man jetzt konkrete Zahlen einsetzt stimmt das nämlich nicht.


    zb:
    1/(cos(1)+sin(1)) != cos(1)-sin(1)


    Oder ist da was falsch?

  • mhm...
    das was du geschrieben hast sind keine komplexen zahlen.
    es heisst 1/(cos(1)+i*sin(1)) = cos(1)-i*sin(1)


    beim dividiern von komplexen zahlen ist es immer ratsam mit dem Konj. Komplexen des Nenners zu erweitern.In diesem fall:


    1/(cos(1)+i*sin(1)) * cos(1)-i*sin(1) / cos(1)-i*sin(1)
    das darf ich denn ich multipliziere ja mit 1.
    wenn du das dann im nenner ausmultiplizierst (i^2 = -1) bekommst du
    cos(1)-i*sin(1) / cos²(1)+sin²(1) = cos(1)-i*sin(1)
    also steht hier im nenner 1 (cos²(x)+sin²(x)=1) kannst aber auch einfach den nenner in taschenrechner eintippen kommt 1 raus :)
    hoffe das hilft dir ein bisschen

    Markus Ernst
    CGUE-Tutor

  • Eventuell könnte man das auch noch kürzer anschreiben.


    z' = 1/z |*z
    z'*z = 1


    Man sieht gleich das z'*z dasselbe ist wie a^2 + b^2


    Also:
    a^2 + b^2 = 1


    Dann noch die Wurzel ziehen und man erhält:


    sqrt(a^2 + b^2) = 1


    Also gilt z' = 1/z wenn |z| = 1.