Beispiel 168 MA2 UE12

1. zu zeigen: phi ist Selbstabbildung von [1.2, 1.3] nach [1.2, 1.3]
im Folgenden wird [1.2, 1.3] mit I bezeichnet

Betrachten der 1. Ableitung phi' ergibt:
phi'(x) = 1 + exp (-x) - sin (x)
Abschätzung ergibt:
exp (-x) > 0 für alle x aus R
-1 <= sin (x) <= 1 für alle x aus R
==> phi'(x) am Intervall I immer positiv
==> phi(x) auf I monoton steigend

phi(1.2) ~= 1.2611
phi(1.3) ~= 1.2949

Da phi dazwischen monoton steigt, kann man folgern,
dass 1.2 <= phi (x) <= 1.3 für x in I.
==> phi ist Selbstabbildung von I auf sich selbst.

2. phi ist Kontraktion
exp(-x) ist monoton fallend,
-sin(x) ist auf [1.2, 1.3] monoton fallend, da das Intervall
ganz zwischen 0 und Pi/2 liegt.

==> phi'(x) auf I monoton fallend.

phi'(1.2) ~= 0.369155
phi'(1.3) ~= 0.308973

==> 0.3 <= phi'(x) <= 0.4 auf I
==> |phi'(x)| <= 0.4 auf I
==> Lipschitzkonstante c kann 0.4 gewählt werden.
(Das folgt aus dem 1.Mittelwertsatz der Differentialrechnung)

==> phi ist Kontraktion auf I.

3. Der Raum, den wir betrachten, ist vollständig.
Der Banach'sche Fixpunktsatz setzt die Vollständigkeit des Raumes
voraus, d.h., dass jede Cauchyfolge konvergiert.
Nun ist R vollständig. Jede abgeschlossene Teilmenge A in einem
vollständigen Raum X ist selber vollständig, denn wenn man
eine Cauchyfolge (xn) in A betrachtet, ist diese auch eine Cauchyfolge
in X selber, und konvergiert somit. Da A aber abgeschlossen ist,
muss der Grenzwert in A liegen, da die Folge ganz in A läuft.
==> jede Cauchyfolge in A konvergiert gegen einen Punkt aus A
==> A vollständig.

Unser Intervall ist in der euklidischen Topologie auf R abgeschlossen
und daher abgeschlossene Teilmenge von R und somit vollständig.

Damit sind alle Bedingungen, die das Anwenden des Banach'schen
Fixpunktsatzes ermöglichen, bewiesen, und man kann die
Iteration ohne schlechtes Gewissen durchführen.

camus: Ja, so habe ich mir das auch gedacht. Damit ist es dann imho auch wirklich bewiesen, dass es genau einen Fixpunkt gibt. In der Lösung im PDF hingegen ist der Beweis mehr als schwammig. Eigentlich dürfte man dort das Verfahren gar nicht anwenden.

mfg

Quote from Christoph R.

camus: Ja, so habe ich mir das auch gedacht. Damit ist es dann imho auch wirklich bewiesen, dass es genau einen Fixpunkt gibt. In der Lösung im PDF hingegen ist der Beweis mehr als schwammig. Eigentlich dürfte man dort das Verfahren gar nicht anwenden.

mfg

Das ist richtig, das Beispiel aus der Lösung ist komplett falsch.
Erstens ist noch nicht bewiesen, dass die Iterationsfolge wirklich
konvergiert, nur weil nach 10 Schritten die Rechenungenauigkeit
so groß wird, dass sich am ablesbaren Funktionswert nichts ändert.

Die Kontraktionseigenschaft wurde, wie du früher schon richtig bemerkt hast, nicht bewiesen, denn nur weil die Ableitung an einer Stelle < 1 ist,
heißt das nicht, dass die Lipschitzkonstante am ganzen Intervall < 1 ist,
bzw. überhaupt existiert.

mnemetz: In der VO wurde im wesentlichen das gemacht, das im Skriptum steht. Nur dass er es natürlich, so wie immer, mit anderen Worten nochmal erklärt hat, so dass man sich das besser vorstellen kann. Aber vom Umfang her war es nicht mehr.

Für dieses Beispiel reicht das Wissen aus dem Skriptum eigentlich vollkommen aus. Es steht eindeutig dort welche Bedingungen erfüllt sein müssen und wie man nach(!) Überprüfen der Bedingungen das Iterationsverfahren anwendet.

Auf Seite 43 unten findest du einen kurzen Beweis wieso die Bedingung 2 garantiert, dass es genau einen Fixpunkt gibt. Der Beweis für die 1. Bedingung (d.h. dass, falls sie gilt, überhaupt Fixpunkte vorhanden sind) war einmal ein Übungsbeispiel das mit Hilfe des Nullstellensatzes zu lösen war. Da die 2. Bedingung direkt in der Form schwer zu zeigen ist gibt es dann halt noch die Möglichkeit das mit der Ableitung zu überprüfen. (...wobei die Beweise für die Übung natürlich vollkommen irrelevant sind - das war jetzt nur der Vollständigkeits halber)

Das war jetzt kurz zusammengefasst das, das Prof. Panholzer dazu gesagt hat.

mfg

Also zur euklidischen Topologie hat er nichts gesagt. Ich glaube Punkt 3 von camus schießt schon etwas über das Ziel hinaus. 1 und 2 sollten eigentlich reichen. Mehr haben wir nicht gemacht.

mfg

Das mit dem ersten Mittelwertsatz war nicht so gemeint.
Ich zeige kurz, warum man das Supremum des Betrags der Ableitung,
oder irgendeine größere Zahl, als Lipschitzkonstante wählen kann,
wenn die Ableitung beschränkt ist:

Also, angenommen, die Ableitung ist auf I beschränkt. (Das ist
sie nach unserer Abschätzung auf ganz I) ==> Es existiert das
Supremum von |phi'(x)| für x in I. Nennen wir es s.

Vorausgesetzt, die Funktion phi ist differenzierbar. betrachtet man
jetzt zwei beliebige Punkte x und y, mit x < y. Dann gilt, dass
ein a im Intervall [x, y] existiert, sodass
phi(x) - phi(y) = phi'(a) * (x - y). (1. Mittelwertsatz)
==> |phi(x) - phi(y)| = |phi'(a)| * |x-y|.
Nun folgt eine Abschätzung mittels des Supremums
==> |phi(x) - phi(y)| <= s * |x-y|
Wenn nun t > s ist, so gilt naturlich auch
|phi(x)| - phi(y)| <= t * |x-y|
Dieses s, bzw. t ist jetzt von x und y unabhängig gewählt.
Deshalb gilt diese Ungleichung für alle x und y, und s bzw. t
ist eine Lipschitzkonstante und phi ist lipschitz-stetig.

Das mit der euklidischen Topologie könnt Ihr vergessen. Es ist
nur prinzipiell möglich, auf R unterschiedliche Distanz- bzw. Umgebungsbegriffe
zu definieren, und von denen ist es abhängig, welche Teilmengen offen, welche
abgeschlossen sind, ...
In dem Beispiel wird aber nur die normale Euklidische Topologie betrachtet.

ich hab eine ganz simple frage: und zwar bekomme ich für phi(1,2) ständig ~1,898 heraus. Ich hab keine Ahnung was ich anders mache als in den PDFs und hier im Forum, vielleicht hängts auch mit meinem taschenrechner am computer zusammen (anderer ist leider eingegangen, dachte nie, dass sowas gibt)

thx
fab

ähm... ja.. hab ich natürlich nicht
danke

nein, ich hab gcalctool verwendet, aber einfach nicht dran gedacht, rad einzustellen