• Mein Versuch:


    Man zeige dass <Z,*> mit der Operation a*b=a+b-ab eine Halbgruppe ist.


    Halbgruppe = Abgeschlossenheit + Assoziativität


    1) Abgeschlossenheit
    *,+,- sind abgeschlossen
    Wenn gilt, dass a,b Elemente aus Z sind, folgt dass ab und a+b und a-b Element aus Z sind => wahr



    2) Assoziativität
    erster Teil: (a*b)*c = a*(b*c) => assoz
    zweiterTeil: (a+b)+c-(ab)c = a+(b+c)-a(bc) => assoz


    ===> Damit haben wir eine Halbgruppe


    Neutrales Element?


    erster Teil: a*1 = 1*b = 1
    zweiterTeil: a+1-a*1 = 1+b-1*b = 1


    ===> Neutrales Element ist 1 damit haben wir einen Monolit


    Inverses Element?


    a+i-ai = 0
    a+i(1-a)=0
    i= - a/(1-a)
    ===> für die Elemente 0 und 2 existiert ein inverses Element


    Bitte um Feedback!

  • zu 1)
    würd ich auch so sehen

    zu 2)
    ich mach jetzt aus <Z, *> ein <Z,o> damit es
    besser lesbar wird.

    a o b = a+b-a*b (so ist die bin. Operation definiert)

    jetzt gilt es zu ziegen ob hier die Assoziativität gilt, d.h.
    (a o b) o c = a o (b o c) (dein 1. Teil)
    LS:
    (a+b-a*b) o c
    (a+b-a*b)+c-( (a+b-a*b)*c )
    a+b-a*b+c - (a*c+b*c-a*b*c)
    a+b-a*b+c - a*c-b*c+a*b*c, sortieren
    a+b+c-a*b-a*c-b*c+a*b*c

    RS:
    a o (b+c-b*c)
    a+(b+c-b*c)-( a*(b+c-b*c) )
    a+b+c-b*c- ( a*b+a*c-a*b*c )
    a+b+c-b*c - a*b-a*c+a*b*c
    a+b+c-a*b-a*c-b*c+a*b*c

    und jetzt sehen wir das beid seiten gleich sind, also auch ass.

    3)
    Neutrales element (n)
    a o n = n o a = a

    *)
    a o n = a
    a+n - a*n = a | -a
    +n - a*n = 0 | +a*n
    +n = a*n | /n
    n/n = a
    1 = a

    tja, damit sehen wir mal das es ein neutrales element gibt, da es sich von selbst auflöst, aber welches ist es nun?? Man sieht zwar, das es nur 0 sein kann denn:
    a o 0 = 0 o a = a
    a+0-a*0 = 0+a-0*a = a
    a+0-0 = a+0-0 = a
    a = a = a ;)
    aber ist das jetzt der beweis?

    Edit: Hab rausgefunden das, wenn ich anders umforme ich
    für n=0 raus bekomme.
    a o n = a
    a+n - a*n = a | -a
    +n - a*n = 0 | +a*n
    n*(1-a) = 0 | / (1-a)
    n = 0
    /Edit

    4)
    Inverse element (a')
    a o a' = n (neutrales Element in o)
    a' o a = n

    a+a'-a*a' = n
    a'+a*a' = n-a
    a'*(1+a) = n-a
    a' = (n-a)/(1+a) = -a/(1+a)
    es gibt inverse elemente für alle a € Z\{-1}, denn
    -(-1)/(1+(-1)) = +1/0 => Error



    Edit: Hier hab ich einen rechenfehler drinnen denn:
    a+a'-a*a' = n | -a
    a'-a*a' = n-a (Aber ich hab oben a'+a*a')
    a'*(1-a) = n-a
    a'=(n-a)/(1-a)
    a'=(-a)/(1-a)
    /Edit


    Edit2 : das mit den inversen hab ich hier falsch, denn nicht alle
    a' = (-a)/(1-a) sind aus Z
    nur folgende as haben a's
    a = 0, a' = 0
    a = 2, a' = 2
    /Edit

    zu Zeigen wäre noch ob a' o a = a o a' ist, was aber leicht
    ersichtlich ist.


  • Ok das klingt auch gut :thumb:


    Kann mir mal irgendjemand erklären warum aus (a+b-a*b) o c ->
    (a+b-a*b)+c-( (a+b-a*b)*c ) folgt?
    anscheinend hab ich diese kurve nicht gekratzt....

  • Quote from shinigami


    Kann mir mal irgendjemand erklären warum aus (a+b-a*b) o c ->
    (a+b-a*b)+c-( (a+b-a*b)*c ) folgt?



    (a o b) o c
    - zuerst löst du die innere Operation auf (a o b)
    - daraus wird (a+b-a*b), da ja so a o b definiert ist
    - nennen wir das (a+b-a*b) = x, dann bleibt ja noch
    - x o c und das aufgelöst ist ja wieder
    - x+c - x*c und wenn ich jetzt wieder für x rückeinsetze
    hab ich dann
    - (a+b-a*b)+c-(a+b-a*b)*c daraus folgt
    - (a+b-a*b)+c-(a*c+b*c-a*b*c).

    na, jetzt die kurve erwischt? :)

  • Woher wisst ihr WELCHE die inversen Elemente sind bzw. von welchen es Elemente gibt? Mir ist klar, dass für die Elemente (-a)/(1-a) ein Element aus Z herauskommen muss, aber kann man das auch ausrechnen, oder muss man da jetzt jedes Element durchprobieren?


    lG Griffin

  • Tja, wenn du weiter oben schaust, siehst du wie man diese
    Elemente ausrechnet.

    a o n = n o a = a // neutrales Element (n)
    a o a' = a' o a = n // inverses Element (a'), n. s.o.

    jetzt mußt du nur mehr für die binäre operation einsetzen
    und entsprechend umformen.

    Oder meinst du jetzt konkret 0 und 2 als Zahl? Das geht nur duch "ausprobieren".

  • hm .. 0 und 2 sind inverse elemente?


    a' = -a / (1 - a)
    wenn ich da jetzt 0 einsetz .. is mir klar
    wenn ich 2 einsetz


    - 2 = - 2 / (1 - 2) .. das wär ja dann - 2 = 2 oder?

  • beinahe:
    a' ist ja das inverse, daß muß natürlich nicht gleich a sein, die Formel (a' = -a/(1-a)) gibt dir nur an, wie man diese inversen a' berechnet.

    wenn a=-2 dann:
    a' = 2/1+2 = 2/3 = nicht in Z

    wenn a=-1 dann:
    a' = 1/1+1 = 1/2 nicht in Z

    wenn a=0 dann:
    a' = -0/(1-0) = -0/1 = 0, also a=0; a'=0

    wenn a=1 dann:
    a' = -1/(1-1) = -1/0 = undef.

    wenn a=2 dann:
    a' = -2/(1-2) = -2/1 = -2 also a=2;a'=-2

    wenn a=3 dann:
    a' = -3/(1-3) = -3/-2 = nicht in Z

  • Also bis zum Beweis der Assoziativität komm ich ja noch mit, aber ab dem neutralen Element....kann mir vielleicht mal jemand folgende zwei Rechenschritte erklären, besser etwas genauer?


    a'-a*a' = n-a
    a'*(1-a) = n-a


    n - a*n = 0 | +a*n
    n*(1-a) = 0



  • gerne:
    a' - a*a' = n - a
    <=>
    1*a' - a*a' = n - a
    => distributivgesetz : x*(y+z) = x*y+x*z
    => darum kann ich a' rausheben
    <=>
    a'*(1-a) = n-a

    ok?