• Das steht eh schön auf der Seite 4 unten ;)


    Ziegen Sie, dass sqrt(5) irational ist:
    - Behauptung: sqrt(5) ist kein Element von der Menge Q
    - Beweis:
    angenommen sqrt(5) = p/q € Q, wobei p, q € N, q > 0, ggT(p, q) = 1 (="p und q sind teilerfremd")
    5 = (p^2) / (q^2)
    5q^2 = p^2
    --> p^2 ist durch 5 teilbar --> p ist durch 5 teilbar --> p = 5r


    (5r)^2 = 5q^2
    25r^2 = 5q^2
    5r^2 = q^2
    --> q^2 ist durch 5 teilbar --> q ist durch 5 teilbar


    --> p, q sinf nicht teilerfremd, weil beide durch 5 und nicht nur durch 1 (siehe Annahme) teilbar sind


    :p QED :p



    P.S.: Hiermit begrüße ich alle zur diessemestrigen Mathe1-Übung!

  • PiXeL : Hast du noch mehr davon? ;-) Gibt noch 4 weitere lustige Beispiele...


    Eine Frage: Woher kann ich sagen, dass p^2 durch 5 teilbar ist? Weiß ich es aufgrund der möglichen Äquivalenzumformung von p^2 = 5 q^2?


    Ich mein: Wir müssen das ja dann auch erklären können... und wenn ich nur den Text runterschreib und nicht weiß, was ich da eigentlich rechne, schaut's wahrscheinlich auch nicht so gut aus.


    greetz
    fugo

  • Quote from Fugo


    Eine Frage: Woher kann ich sagen, dass p^2 durch 5 teilbar ist? Weiß ich es aufgrund der möglichen Äquivalenzumformung von p^2 = 5 q^2?


    p^2 = 5 q^2
    p^2 / 5 = q^2
    p,q aus N bzw Z => p durch 5 teilbar

  • Quote from Bronkoknorb

    Wie kann man beweisen, dass aus
    5 teilt p^2
    auch
    5 teilt p
    folgt?


    Man kann sich das mit Hilfe der Primfaktorenzerlegung überlegen:

    1) p € N (das ist ja die Vorgabe)

    2) Wenn p^2 durch 5 teilbar ist, muß 5 in seiner Primfaktorenzerlegung (PFZ) vorkommen.

    3) p^2 = p * p => die PFZ von p^2 ergibt sich aufgrund der Primfaktoren von p (das ganze halt wiederholt dazu)

    4) da, wie bereits festgestellt, 5 in der PFZ von p^2 vorkommt, muß 5 auch
    in der PFZ von p sein (da er ja nur von der PFZ(p) kommen kann, p^2=p*p)
    => p ist durch 5 teilbar

    Interessante Links dazu:
    Euklids Elemente
    http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/toc.html
    (VII, prepop. 30 ist hierfür interessant)

    Square root of 2 is irrational (und mehr)
    http://www.cut-the-knot.org/proofs/sq_root.shtml

    mfG!:)

  • Quote from pamela

    p^2 = 5 q^2
    p^2 / 5 = q^2
    p,q aus N bzw Z => p durch 5 teilbar



    hallo
    kann mir den teil jemand genauer erklären. ich komme da einfach nicht weiter!

    bei dem vorgerechneten beispiel mit wurzel 2 war es einfach weil da ein 2er und dadurch keine ungerade zahl möglich war. aber hier ?

  • man versucht ja zu beweisen, dass sqrt(5) eine irrationale zahl ist.


    daher geht man den umgekehrten weg, nimmt an,dass sqrt(5) eine rationale zahl ist(p und q elemente der ganzen zahlen sind und ihr ggT 1 ist -> definiert sich eine rationale zahl nicht dadurch, dass zähler und nenner nach dem kürzen nur noch durch 1 teilbar sind??) um zu erkennen, dass diese annahme falsch ist
    => was die schlussfolgerung zulässt, dass sqrt(5) doch eine irrationale zahl sein muss...


    oder check ich das ganze auch nicht?

  • das mit dem kürzen hab ich mir auch schon so ähnlich gedacht, ganz logisch ist es trotzdem für mich nicht, dass man deshalb einfach mal von ggt =1 ausgeht.

    es sei denn wir gehen davon aus, weil die zahl die nach dem kürzen übrig bleiben würde dann bereits in einer andere zahlenmenge enthalten sein würde:shinner:

    sry, ich krieg kopfweh, wenn ich mir das jetzt genauer überlegen würde, es könnte also sein, dass das was oben steht völlig falsch ist ;)

  • ich hab das auch wie oben gelöst und das mit der PFZ ist ein recht guter ansatz..


    zb.: wie im bsp 26


    5^2 = 25


    mit PFZ
    p^2 p
    25:5 5:5
    5:5 1:1
    5:1


    somit sehen wir das der ggT 5 ist und nicht 1 wie angenommen


    ein gegen-bsp mit 7/3
    7/3 ist, wie wir wissen eine rationale zahl und der ggT ist 1!
    wieder über die PFZ


    7:7 3:3
    1:1 1:1


    und hier ist der ggT eine 1 und folglich irrational!


    ich hoffe das ich das so als richtig verstanden habe!


    es geht beim ggT darum, das nach dem kürzen ein bruch übrig ist, der nur noch den ggT 1 hat.


    mfg
    STCrew

  • Quote from ElVis

    und warum wäre wenn sqrt (5)=p/q € Q der ggt(p,q) =1 anzunehmen?


    Der ggT(p,q)=1 ist deswegen anzunehmen, weil dies die primitivste Möglichkeit ist, eine rationale Zahl darzustellen.

    Bsp.:
    1/4 = 2/8 = 3/12 = 4/16 = ... = (1*n)/(4*n) (= 0.25 in Dezimalschreibweise)
    Es handelt sich immer um den selben Punkt auf dem Zahlenstrahl, jedoch gibt es unendlich viele Paare (p,q), die diesen Punkt "darstellen".
    Es existiert allerdings nur eine Möglichkeit diesen Punkt mit den möglichst kleinsten natürlichen Zahlen darzustellen, nämlich (1,4).

    Da wir in unserem Übungsbeispiel auf der Suche nach einer rationalen Zahl sind,
    liegt nichts näher, als nach der primitivsten Form dieser rationalen Zahl zu suchen.
    Existiert diese nicht, existiert die Zahl ansich nicht!

    mfG!:)

  • eine letzte frage noch:

    Quote

    angenommen sqrt(5) = p/q € Q, wobei p, q € N, q > 0, ggT(p, q) = 1 (="p und q sind teilerfremd")



    laut skriptum ist die defiition von Q doch: a,b € Z.
    weshaöb wird dann hier angenommen, dass p,q € N sind - oder ist das egal?

    thx!