Baron Prüfung

  • so ich mach hier gleich mal einen eigenen Thread, werd wohl noch mehr Fragen haben...


    irgendwo (im PO)) hab ich das Beispiel M=q[sqrt(7)] = {a + b sqrt(7) | a,b € Q) mit Multiplikation und Addition aus R gesehen...


    das ist ja das selbe Beispiel wie bei bei den Übungsaufgaben (63 - 66) hier handelt es sich um Ringe oder? Auf dem PO steht nämlich Körper, aber eine Multiplikation hat doch bezüglich 0 keine inverses...


    also: <M, *> G1 -G3 gilt (e = 1 + 0* sqrt(7))
    aber G4 gilt nicht --> a* a' = a' * a = e
    da a = 0 + 0 sqrt(7) und 0 € Q


    oder denk ich hier falsch?

  • gesucht sei ein multiplikativ inverses element c' zu c=a+b*sqrt(7). naheliegend ist c'=1/(a+b*sqrt(7)). hier ist allerdings zu zeigen, dass c' tatsächlich in Q[sqrt(7)] liegt.


    das geht, indem man 1/(a+b*sqrt(7)) mit a-b*sqrt(7) erweitert; man erhält dann (a-b*sqrt(7))/(a²-7b²)=a/(a²-7b²)+((-b)/(a²-7b²))*sqrt(7). da nun a/(a²-7b²) rational ist und (-b)/(a²-7b²) ebenfalls, liegt diese zahl in Q[sqrt(7)]. das einzige, worauf man aufpassen muss, ist, dass a-b*sqrt(7) nicht 0 sein darf, da man einen bruch ja nicht mit 0 erweitern darf. nun sind a und b rational, sqrt(7) ist irrational; sqrt(7) multipliziert mit einer irrationalen zahl ungleich 0 ist sicher irrational, dann müsste also a ebenfalls irrational sein, damit a-b*sqrt(7)=0 ist. das ist allerdings ein widerspruch zu der tatsache, dass a rational sein muss.
    die einzige möglichkeit, die bleibt, damit a-b*sqrt(7)=0 ist, ist daher b=0, woraus unmittelbar a=0 folgt. d.h. a-b*sqrt(7) ist genau dann 0, wenn a=b=0. des weiteren ist aber a+b*sqrt(7) genau dann 0 (dieselbe überlegung wie für a-b*sqrt(7)), wenn a=b=0. das bedeutet, dass aus a+b*sqrt(7)=0 folgt, dass a-b*sqrt(7)=0 ist. nun ist aber a+b*sqrt(7) das einheitselement bezüglich der addition und wird folglich für die überprüfung, ob es sich bei der algebraischen struktur um einen körper handelt oder nicht, ausgeschlossen. also gibt es für alle elemente von Q[sqrt(7)]\{0} ein inverses element, also liegt ein körper vor.

  • aha vielen Dank...


    das bedeutet also, dass das Einheitselement der Addition in der Multiplikation nicht angewendet wird? Somit ist es als ob Q[sqrt(7)] ohne 0 ist (wie du geschrieben hast).


    bei Q[sqrt(4)] gibt es demnach kein inverses Element bezüglich der Multiplikation zu allen € M. Da ja sqrt(4) selber eine rationale Zahl ist...


    ich glaub ich habs kapiert, danke...


  • so ist es.