450 nochmal?

  • Quote from NoUse

    Voller Motivation wollt ich die Beispiele für nächste Woche beginnen, und was seh ich? Nochmal Bsp 450? oder hab ich mich verschaut?


    Das passt schon. Sei froh, denn ich habe das Beispiel ja heute eh so schön an der Tafel vorgerechnet.;)
    Vielleicht aber müssen wir das Beispiel diesmal auf eine andere Weise zeigen.....mit vollständiger Induktion z.B. ; allerdings steht dazu nichts auf der Homepage. Is auf jeden Fall eine gute Sache!

  • hmm, bin gespannt, ob die im laufe der woche daran noch etwas ändern werden.


    deine erklärung, jakuni, war wirklich gut, aber irgendwie habe ich das ganze noch immer nicht ganz verstanden. könntest du vielleicht noch eine erklärung hier ins forum schreiben?
    nur, wenns dich nicht zu sehr stört.

    Lass das Vergangene nicht das Heute regieren,


    aber lass es dir in Zukunft ein guter Ratgeber sein.

  • Quote from sheepchen

    hmm, bin gespannt, ob die im laufe der woche daran noch etwas ändern werden.


    deine erklärung, jakuni, war wirklich gut, aber irgendwie habe ich das ganze noch immer nicht ganz verstanden. könntest du vielleicht noch eine erklärung hier ins forum schreiben?
    nur, wenns dich nicht zu sehr stört.


    Aber gerne! :)
    Du musst beweisen, dass eine beliebige endliche Menge mit n Elementen (wobei n nicht 0 sein darf) gleich viele Teilmengen mit gerader Elementanzahl wie mit ungerader Elementanzahl besitzt.


    Nehmen wir als Beispiel die menge A= {1,2,3}
    Die Teilmengen mit gerader Anzahl sind in dem Fall: {o}, {1,2} , {2,3}
    und die mit ungerader Anzahl würden lauten: {1}, {2}, {3} und {1,2,3}


    Wie du siehst gibt es von geraden und ungeraden jeweils 4 Teilmengen ==> stimmt also für n=3


    Jetzt brauchen wir eine allgemeine Formel. Mein Ansatz ist so:


    SUMME(k=0 bis n) (n ü k) (-1)^k
    bei dieser Summe werden alle geraden Teimengen addiert und alle ungeraden subtrahiert. Denn wenn k jetzt z.B. 3 oder 5 ist, wird aus dem (-1)^k ein -1. Wenn k aber gerade ist, kommt +1 raus. Somit wird (n ü k) schrittweise addiert und subtrahiert.
    Das (n ü k) steht deswegen da, weil jede Teimenge quasi eine Kombination darstellt, wobei n die Anzahl der Elemente der ursprünglichen Menge ist, und k die Anzahl der Elemente einer beliebigen Teilmenge.
    Daher muss für diese summe 0 rauskommen. Und das gilt es zu ziegen.


    Und zwar machst du das mit dem binomischen Lehrsatz. Der lautet ja:
    (x+y)^n = SUMME(k=0 bis n) (n ü k) * x^(n-k) * y^k
    Wir nehmen für x=1 und für y=(-1)
    Somit ist: (1 + (-1)) = SUMME(k=0 bis n) * 1^(n-k) * (-1)^k
    1^(n-k) ist auf jeden Fall 1 und interessiert uns für unseren Ansatz nicht.
    Wir lassen also stehen: SUMME(k=0 bis n) (n ü k) * (-1)^k
    Das ist aber genau unser Ansatz, der 0 sein muss.
    Also können wir unseren Ansatz gleichsetzen mit: (1 + (-1))^n
    Das ist aber (0)^n also 0 und somit ist unser Ansatz bewiesen für alle n.


    Ich hoffe das hilft euch weiter.

  • Quote from Jakuni

    Nehmen wir als Beispiel die menge A= {1,2,3}
    Die Teilmengen mit gerader Anzahl sind in dem Fall: {o}, {1,2} , {2,3}
    und die mit ungerader Anzahl würden lauten: {1}, {2}, {3} und {1,2,3}


    Wie du siehst gibt es von geraden und ungeraden jeweils 4 Teilmengen ==> stimmt also für n=3


    Hab da mal ne Frage dazu: Warum gehört {o} zu den Teilmengen mit gerader Anzahl?
    (Und es fehlt da noch {1,3} oder? Sonst wärens ja auch nur 3 Teilmengen von den geraden.)

  • wow, danke jakuni!! :)


    das ist eine tolle erklärung und jetzt ist mir das auch endlich wirklich klar :p .

    bei "Die Teilmengen mit gerader Anzahl sind in dem Fall: {o}, {1,2} , {2,3}" gehört nur auch noch {1,3} dazu, oder? dann sind es 4.

    Lass das Vergangene nicht das Heute regieren,


    aber lass es dir in Zukunft ein guter Ratgeber sein.

  • Quote from xnay

    Hab da mal ne Frage dazu: Warum gehört {o} zu den Teilmengen mit gerader Anzahl?
    (Und es fehlt da noch {1,3} oder? Sonst wärens ja auch nur 3 Teilmengen von den geraden.)


    Ja, {o} ist die leere menge und hat somit 0 Elemente. Und 0 ist ja gerade.
    Und danke für den Hinweis, es fehlt natürlich die Menge {1,3}