38 von Mworx bzw. Kungruenzen bilden

  • Hallo Mathematiker!


    Bin beim Mathe lernen wieder einmal ziemlich aufgeschmissen !
    Wieder einmal die Algebra, die mir wohl nie vollkommen verständlich
    sein
    wird!


    Also gut ich schreibe euch zuerst die Angabe, dann den Lösungsweg der
    wohl stimmen wird (die Lösung ist Kenny bzw. mworx) und dann sage ich was ich nicht verstehe:


    Angabe:
    Man ermittle alle Kongruenzen der Halbgruppe <Z6,*> für die 1 und 3
    eigene (d.h. elementige) Kongruenzen bilden. Konstruieren Sie die
    entsprechende Faktorgruppe Z6.


    Nun der Lösungsweg allerdings werde ich die Faktorgruppen weglassen,
    Da es da nur mehr um eine Operationstafel handelt die leicht zu
    verstehen ist wenn man mal die Kongruenzklassen hat.


    Eine Z6 (0,1,2,3,4,5) hat 6 Elemente bei denen 2 Elemente (nämlich
    eins
    und drei) eine eigene Äuquivalenzrelation bilden.
    Daher gibt es einmal 6 über 2 Äquivalenzrelationen


    n!/(k!*(n-k)!)= 6!/(2!*(4-2)1)=15 -->


    Es gibt 15 Äquivalenzrelationen auf Z6 wo 1 und 3 eigene Klassen
    sind.


    Alle Äquivalenzklassen!


    {<1>,<3>,<0,2,4,5>}
    ---------------
    {<1>,<3>,<0>,<2,4,5>}
    {<1>,<3>,<2>,<0,4,5>}
    {<1>,<3>,<4>,<0,2,5>}
    {<1>,<3>,<5>,<0,2,4>} Kongruenzklasse
    ------------------
    {<1>,<3>,<0,2>,<4,5>}
    {<1>,<3>,<0,4>,<2,5>}
    {<1>,<3>,<0,5>,<2,4>}
    --------------------
    {<1>,<3>,<0>,<2>,<4,5>}
    {<1>,<3>,<0>,<4>,<2,5>}
    {<1>,<3>,<0>,<5>,<2,4>} Kongruenzklasse
    {<1>,<3>,<2>,<4>,<0,5>}
    {<1>,<3>,<4>,<5>,<0,2>}
    {<1>,<3>,<2>,<5>,<0,4>}
    ---------------------
    {<1>,<3>,<0>,<2>,<4>,<5>} Kongruenzklasse


    Kongruenzklassen;
    1) {<1>,<3>,<0>,<2>,<4>,<5>}
    2) {<1>,<3>,<0>,<5>,<2,4>}
    3) {<1>,<3>,<5>,<0,2,4>}


    Nun wären noch die Faktorhalbgruppen zu bilden aber die
    Operationstafel
    von den Konkruenzklassen zu bilden schaffe ich noch!
    Allerdings werden in der Kongruenzklasse 2) 2 2 und 4 weggelassen und
    bei 3) nur 4 warum?


    Meine zweite Frage: wie schaffe ich es von Äquivalenzklassen (die
    verstehe ich noch) auf die Kongruenzklassen zu kommen ??


    Ich bin mir sicher einige von euch haben da gleich mathematische
    Definitionen parat und so ....... Ich habe im Matheskriptum sicher
    sehr oft die mathematische Definition für Kongruenzrelationen gelesen
    ....
    verstehe sie aber nicht !! Daher bitte erklärt mir dieses Beispiel in
    der Sprache Mathematik für Dummis!" (ist keine Anspielung auf das
    Buch dazu dass es sicher gibt)


    Ich bedanke mich mal im voraus für die Hilfe !!


    mfG
    Gernot Glöckler

  • hey...


    ich würd dir ja gern helfen, aber ich hab keine ahnung


    die unterlagen sind nämlich NICHT von mir selbst geschrieben oder erstellt (zumindest großteils), sondenr von irgendwelchen andern leuten und ich biete sie euch nur auf http://www.mworx.at/infoworx an :)


    kenn mich leider überhaupt nicht aus mit kongruenzen und faktoralgebren, und hatte glück dass bei meiner prüfung damals dieses bsp nicht kam


    aber du musst ja auch nicht ALLE bsp können, also wenn das anscheinend so schwer is dass dir keiner dabei helfen kann, is auch kein weltuntergang..


    wenn du ungefähr eine ahnung hast, im großen und ganzen, und die meisten prüfungsordern-fragen kannst, dann schaffst die prüfung schon, ich hab auch einen 3er bekommen damals :)

  • <Almresl> schrieb
    > wow. arges bsp. ist sicher kaiser stoff, oder???


    ja, allerdings aus seiner linAlg- Vorlesung, ob er sowas auch zur Mathe 1
    geben würde ist fraglich..


    gernot :
    Ich hab meine Mathe1 letzten März hinter mich gebracht (ist alles also schon
    ein bisserl eingerostet :D ), daher bitte nicht hauen, wenn ich jett
    vollkommenen Blödsinn verzapf..
    Wenn ich mich richtig erinner, ist eine Kongruenzrelation nichts anderes als
    eine Äquivalenzrelation, die mit allen gegebenen Operationen (in dem Fall
    also *) verträglich sein muss.. das heißt, wenn zB a und b in
    (Kongruenz)Relation zueinander stehen, muss a*c und b*c das auch tun. wenn
    du jetzt zB die erste Äquivalenzrelation anschaust {<1>,<3>,<0,2,4,5>} ist
    das keine Kongruenzrelation, weil 0*3=0, aber 5*3=3 und 0 und 3 eben _nicht_
    in Relation zueinander stehen...
    Das müsstest du eben für alle Äquivalenzrelationen durchdenken, vielleicht
    gibts da einen "Trick" wie man das aus der Operationstafel einfacher
    auslesen kann...


    hoffe, das hilft dir weiter,
    mfg, Chris


    PS: Bin mir wirklich net sicher, ob das auch stimmt ;)
    wenn das also wer liest, der sich damit auskennt, bitte korrigieren oder
    bestätigen.

  • > Eine Z6 (0,1,2,3,4,5) hat 6 Elemente bei denen 2 Elemente (nämlich eins
    > und drei) eine eigene Äuquivalenzrelation bilden.
    > Daher gibt es einmal 6 über 2 Äquivalenzrelationen
    >
    > n!/(k!*(n-k)!)= 6!/(2!*(4-2)1)=15 -->
    >
    > Es gibt 15 Äquivalenzrelationen auf Z6 wo 1 und 3 eigene Klassen sind.


    Man kann auf einer 4 elementigen Menge 15 verschiedene Äquivalenzrelationen
    definieren. Und tatsächlich ist {6 \choose 2} (6 über 2) = 15, aber (6 über
    4) ist auch = 15. Wenn ich also von den 6 Elementen 4 je in eine eigene
    Äquivalenzklassen stecke, dann bleiben nur noch 2 Elemente übrig. Mit zwei
    Elementen kann man aber nur noch zwei verschiedene Äquivalenzrelationen
    bilden. z.B. M={a,b} die Klasseneinteilungen: {<a>,<b>} und {<a,b>}. Diese
    Formel liefert also nur hier zufällig das richte Resultat.


    Ein allgemeines Bildungsgesetzt für die Anzahl der Klasseneinteilungen, was
    gleich bedeutend ist mit der Anzahl der Äquivalenzrelationen, einer festen
    Menge M mit der Mächtigkeit |M|=n ist mir allerdings nicht bekannt.


    Für die ersten paar n's ergeben sich folgende Werte:


    n=1: 1
    n=2: 2
    n=3: {<a>,<b>,<c>}, {<a>,<b,c>}, {<a,b>,<c>}, {<a,c>,<b>}, {<a,b,c>} also 5
    n=4: 15



    > Kongruenzrelation


    Mein Senf dazu (ein Erklärungsversuch):


    Eine Kongruenzrelation ist eine Äquivalenzrelation also eine
    Klasseneinteilung die noch eine weitere Eigenschaft erfüllen muss.
    Klasseneinteilung heißt man zerlegt die Trägermenge in Klassen, kleine
    Haufen oder die Prof. Kaiserschen Sackerl wenn man so will.


    Die Äquivalenzrelation nennen wir ~


    a ~ b bedeutet, a ist in relation zu b ist also in der gleichen Klasse bzw.
    liegt am gleichen Haufen.



    Wenn nun a ~ b und c ~ d und daraus folgt ( a * c ) ~ ( b * d ) für alle
    alle gilt, dann ist ~ eine Kongruenzrelation.


    Das heißt wenn man zwei Objekte a, b aus der gleichen Klasse (Haufen) nimmt
    und die jeweils mit zwei Objekten c und d die auch aus der gleichen Klasse
    (Haufen) kommen miteinander verknüpft, dann ladet das Ergebnis der beiden
    Verknüpfungen in der gleichen Klassen (am selben Haufen).


    So das war jetzt natürlich keine exakte Definition, aber vielleicht ist es
    dadurch ein bisschen anschaulicher geworden.


    Es ist vielleicht empfehlenswert auch nochmal nachzulesen, was eine
    Äquivalenzrelation bzw. eine Relation im Allgemeinen überhaupt ist.



    hth


    Hannes