bsp 74 und 75

  • Bei beiden Beispielen komm ich nicht wirklich weiter.


    74) Fürs u_x komm ich mit dem Ansatz vom Bsp 4 im Buch auf Seite 358 auf:
    u_x = c(x) * exp(-y) - x - y +2
    das nach x integriert ergibt: C(x)*exp(-y)-x^2/2-y*x+2*x+g(y).


    Bei diesem g(y) fangen die Probleme an. g(y) ist ja eigentlich u_x(x,y). Allerdings kann man das nicht einfach so übernehmen, da im g(y) x keine Variable mehr ist. Ich hab versucht, für x eine Konstante a zu nehmen (bzw. c(a) für das c(x)). Das passt dann für die allgemeine Lösung (wenn man wieder differenziert und die Probe macht), aber mit den AWPs komm ich nicht hin.


    Aus dem 1. AW: u(x,0) = 0 kann man sich das C(x) ausdrücken und wenn man das in die allgemeine Lösung einsetzt, fällt das c(a) weg und ich hab nur noch x,y und a stehen. Das erfüllt dann aber nicht den 2. AW.
    Naja, hab einiges probiert, komm aber nicht hin.


    75) Hier hab ich schon von Beginn an Probleme. Habs mit dem Ansatz von "Beispiel 3" auf S358 versucht (um zuerst u_x zu berechnen), aber naja.


    Also wenn jemand die beiden Beispiele hat, bitte ich um eine kleine Beschreibung.

    former CG1LU, CG2LU Tutor

  • [74]
    Das u(x,y) hab ich auch so. Das mit den Nebenbedingungen is dann etwas gefinkelt, man setzt einfach mal für das u(x,y) ein:
    u(x,0) = 0: c(x)*exp(0) + 2x - x^2/2 + d(0) = 0
    u(0,y) = 0: c(0)*exp(-y) + d(y) = 0


    Umformen:
    c(x) = -2x + x^2/2 - d(0) => c(0) = -d(0)
    d(y) = -c(0)*exp(-y) => d(y) = d(0)*exp(-y)
    Jetzt gibts für d(y) zwei (oder mehr ?) mögliche Lösungen: entweder d(0) = 0 und somit auch d(y), oder d(y)/d(0) = exp(-y) => d(y) = exp(y)


    Ich glaub daß die letztere Lösung interessanter ist, also
    => c(x) = -2x + x^2/2 - 1


    u(x,y) = (-2x + x^2/2 - 1)*exp(-y) + 2x - x^2/2 -x*y + exp(-y)


    [75]
    Das ganze wiederum als lineare DGL 1. Ordnung in u_x auffassen:
    u_x = c(x) * exp(-y^/2)
    u = c(x)*exp(-y^2/2) + d(y)


    NB:
    u(x,x) = x^2: c(x)*exp(-x^2/2) + d(x) = x^2
    u_x(x,x) = u_y(x,x): c'(x)*exp(-x^2/2) = -x*c(x)*exp(-x^2/2) + d'(x)


    1. Gleichung umformen: d(x) = x^2 - c(x)*exp(-x^2/2)
    ...und ableiten: d'(x) = 2x - c'(x)*exp(-x^2/2) + x*c(x)*exp(-x^2/2)
    Dann einsetzen in die zweite Gleichung
    => c'(x) = x*exp(-x^2/2) => c(x) = exp(x^2/2)
    Dann kann man sich d(x) ausrechnen aus der 1. Gleichung: d(x) = x^2 -1 => d(y) = y^2 - 1

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  • erst mal danke für die gute erklärung, wie man die Nebenbedingungen verwendet.
    Eine frage hab ich.


    Es kommt bei diesen PDG öfters vor dass man von einem x_0 nach x oder y_0 nach y integrieren muss. was genau muss ich da für x_0 respektive y_0 einsetzen? es steht ja nirgends in der angabe.


    thx
    g3k

  • Quote from dose

    [74]
    Umformen:
    c(x) = -2x + x^2/2 - d(0) => c(0) = -d(0)
    d(y) = -c(0)*exp(-y) => d(y) = d(0)*exp(-y)


    An dem Punkt hast du mich verloren...wie kommst du von der einen Seite der Implizierung auf die andere? x kann ja nicht spontan 0 werden, und bei der 2. Zeile verschwindet c - hab ich was nicht verstanden??



  • wieso kommst du bei 75 auf einen term ala exp(-y^2/2)?
    a ist ja y, da hier steht in der formel exp(-a*y) heisst es dann exp(-y^2)


    rechnest du das total anders oder unterliege ich einem denkfehler?

  • Quote from Jokus

    An dem Punkt hast du mich verloren...wie kommst du von der einen Seite der Implizierung auf die andere? x kann ja nicht spontan 0 werden, und bei der 2. Zeile verschwindet c - hab ich was nicht verstanden??


    Naja, das is der einzige Weg, wie ich das auf irgendwas gebracht hab...recht überlegt, 100%ig sattelfest is das nicht, aber meine Gedanken:


    c(x) = -2x + x^2/2 - d(0)


    c(x) is eine Funktion, die von x abhängt und in der d(0) vorkommt. Setz ich x gleich 0, verschwinden die anderen Ausdrücke und es bleibt c(0) = -d(0). In der 2. Gleichung verwend ich das Zeug dann weiter...


    Muß mir das selber erst wieder anschauen, is doch schon zu lang her...

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  • Quote

    wieso kommst du bei 75 auf einen term ala exp(-y^2/2)?
    a ist ja y, da hier steht in der formel exp(-a*y) heisst es dann exp(-y^2)


    Komm nicht ganz mit worauf Du hinaus willst...ich hab:


    u_xy + y*u_x = 0


    ...und faß das ganze als eine lineare DGL 1. Ordnung in u_x auf (die zugehörige "normale" DGL wäre y' + x*y = 0) und mach den ganz normalen Lösungsansatz...also y_h = c*exp(int(-a(x)*dx)), nur daß bei uns nicht x, sondern y die Variable is, von der a abhängt, deswegen integrier ich das ganze nach dy und daß die "Konstante" c noch von x abhängen muß...

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  • Quote from dose

    Komm nicht ganz mit worauf Du hinaus willst...ich hab:


    u_xy + y*u_x = 0


    ...und faß das ganze als eine lineare DGL 1. Ordnung in u_x auf (die zugehörige "normale" DGL wäre y' + x*y = 0) und mach den ganz normalen Lösungsansatz...also y_h = c*exp(int(-a(x)*dx)), nur daß bei uns nicht x, sondern y die Variable is, von der a abhängt, deswegen integrier ich das ganze nach dy und daß die "Konstante" c noch von x abhängen muß...


    schon klar, hätte mich auch gewundert wenn man für a y nehmen hätte können! jetzt bekommt das ganze einen sinn ;-)