Beispiel 45

  • Angabe:


    Man löse die exakten Differentialgleichungen!


    (Achtung: Tippfehler beim Zettel! Gleich am Anfang steht ein dy und dann wieder dy => erstes dy => dx!!!)


    (x+y+1)dx-(y-x+3)dy=0


    Lösung:


    x+y+1=P
    y-x+3=Q


    dP/dx=1
    dQ/dy=1


    Int...Integral


    Int Pdx + Int Q - Int dP/dy dxdy=0


    Int x+y+1 dx - Int y-x+3 + Int 1 dxdy=c
    x^2/2 + yx + x - y^2/2 + xy - 3y - xy=c


    x^2/2 - y^2/2 + xy + x - 3y=c

  • Hi,


    Ich hab das Beispiel so wie im Skriptum gerechnet und glaube es ist so um einiges verständlicher:


    P(x,y) = (x+y+1)
    Q(x,y) = -(y-x+3) = -y+x-3


    dP/dy (x,y) = 1
    dQ/dx (x,y) = 1


    da die beiden gleich => exakt!


    und jetzt nach dem Kochrezept im Skriptum:


    dH/dx(x,y) = x+y+1


    H(x,y) = x^2/2 + yx + x + C(y)


    dH/dy(x,y) = x + C'(y) = Q(x,y) = -y+x-3


    x+C'(y) = -y+x-3
    C'(y) = -y-3
    C(y) = -y^2/2-3y


    C(y) in H(x,y) einsetzen:


    H(x,y) = x^2/2 + yx + x - y^2/2 - 3y = C


    (Garantie für die Richtigkeit des Rechengangs: Keine ;) )


    (P.S.: Danke Zentor für das Melden der Tipp-Fehler. Schon ausgebessert)