Beispiel 36

  • Angabe:


    Man bestimme zu einer gegebenen Kugel einen eingeschriebenen Zylinder von maximaler Oberfläche.


    Lösung:


    O=2r^2Pi+2rPi*h -> MAX
    R^2=(h/2)^2+r^2


    L...Lamda
    GroßPhi(r,h,L)=2rPi(r+h)+L[(h/2)^2+r^2-R^2]


    dGroßPhi/r=2Pi(r+h)+2rPi+L2r=0=>Pi(r+h)+rPi+Lr=0=>Lr=-Pi(2r+h)=>
    =>L=-Pi(2r+h)/r


    dGroßPhi/h=2rPi+Lh/2=0=>4rPi+Lh=0=>Lh=-4rPi=>
    =>L=-4rPi/h


    Pi(2r+h)-4r^2Pi/h=0=>Pih(2r+h)-4r^2Pi=0=>4r^2-h(2r+h)=0=>
    =>h^2+2rh-4r^2=0
    h1,2=-r+-Wurzel r^2+4r^2 =>
    h1,2=-r+-Wurzel 5r^2=>
    h1,2=r*(-1+-Wurzel 5)


    Man braucht eigentlich nur ein h, da das zweite negativ ist und es darf ja nix negativ sein.


    =>h=r*(-1+Wurzel 5)


    L=-4rPi/4r(1+Wurzel 5) =>L=-Pi/-1+Wurzel 5


    Jetzt fehlt nur mehr noch das kleine r.


    R^2=r^2*(-1+Wurzel 5)^2/4 + r^2=>4R^2=r^2*(-1+Wurzel 5)^2 + 4r^2=>4R^2=r^2*(1-2*Wurzel 5 +5+4)=>4R^2=r^2*(10-2*Wurzel 5)=>4R^2=r^2*2*(5-Wurzel 5)=>r^2=2R^2/5-Wurzel 5)=>r=R*(großeWurzel 2 / 5-Wurzel 5)


    Im Klammerausdruck ist alles unter einer Wurzel. Darum großeWurzel.

  • O=2r^2Pi+2rPi*h -> MAX
    R^2=(h/2)^2+r^2


    O ist die Oberfläche (also 2 x Kreisfläche plus Mantel)
    R ist der Radius der Kugel
    h ist die Höhe des Zylinders
    r ist der Radius des Zylinders


    r vom Zylinder, h/2 vom Zylinder und R bilden ein Dreieck, a²+b²=c² - voila!


    r
    ______
    |........
    |.... R
    |...
    |.


    h/2


    [edit] Hier nochmal eine Draufsicht zur besseren Vorstellung (der Zylinder trifft also mit seinen "Kanten" die Kugel und hier ist die Verbindung von Kugel zu Zylinger => Nebenbedingung


    ..................****
    ..............*|-------|*
    .............*.|.........|..*
    .............*.|.........|..*
    ..............*|-------|*
    ..................***

  • Zitat

    L=-4rPi/4r(1+Wurzel 5) =>L=-Pi/-1+Wurzel 5


    Wie kommt hier die "4" im Nenner zustande? ich setze doch das "h" bei L=4rPi/h ein, oder?


    also ich bekomme für L = -Pi*(1+sqrt5) heraus, hat das ncoh wer oder liegt da ein fehler vor? ich komm irgendwie nicht drauf...


    thx for help


    MfG


    bFXx

  • kann mir jemand bitte das erklären:


    wie komme ich von dieser gleichung auf das h:


    h²+2rh-4r²=0


    glaub dass ich da a bisserl auf der leitung stehe!


    Danke Euch!



    Heavy :


    als nebenbedingung kannst du eigentlich alles nehmen; nur die variablen r und h sollten irgendwas ausdrücken.


  • da gibts eine kluge formel - weiss aber leider nicht mehr wie sie heisst - nur wie sie funkt (aber das sollt ja reichen):


    x²+px+q=0


    x1,2 = -(p/2) +- Wurzel[(p/2)^2-q]



    gerald

  • Danke!


    Hab, Gott sei Dank, eh noch einen Geistes-Blitz vor der UE gehabt!!!


    Was sagt ihr dazu:
    Heute in der UE sagte der Prof., dass "eigentlich alle Studenten 2 Drittel der UE-Beispiele erreichen sollten".... Was immer damit gemeint ist.
    ABER 2/3 ist schon a bisserl heavy oder irre ich????:(

  • seiti :
    das ist die kleine lösungsformel für quadratische gleichungen.


    leadpen
    najo, würd sagen 2/3 bedeutet positiv. heavy oder nicht.

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    Version: 3.12
    GAT d-(+) s++: a- C++$>+$ U++>+++ P++>+++ L+++ !E W++>$ !N K? w(--)@ !O !M V? PS+ PE++(-)> Y+ PGP(+) t---(-) !5 X R- tv-(--) b++>$ DI+ D+(++) G(+) e>++++* h-- r++ y++
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