Beispiel 11.6

  • auch dieses bsp is eigentlich nicht schwer (einfach genauso wie im buch S.132/133):

    (anm: wenn ich SUM oder PROD schreib, mein ich natürlich immer summe bzw. produkt von i=1 bis n. und mit p ist meist "p dach" gemeint)

    also wenn eine SG geom. verteilt ist, hat sie folgende punktwahrsch.:

    X~Gp => p(x|p) = p(1-p)^(x-1)

    (einmal steht hier p für punktwahrscheinlichkeit und einmal für den parameter, ich hätt das irgendwie sinnvoller benamsen sollen...)

    daher ist die plausibilitätsfkt (nach der definition auf S.132):

    l(p;x1,...,xn) = PROD(p(xi|p))

    eingesetzt ergibt das

    l(p;x1,...,xn) = PROD(p(1-p)^(xi-1))

    das kann man umformen zu

    l(p;x1,...,xn) = p^n*(1-p)^(SUM(xi) - n)

    nun weiter, wie auf S.133 die log. plausibilitätsfkt. bilden, also einfach logarithmieren

    l*(p;x1,...,xn) = LN(l(p;x1,...,xn)) = LN(p^n*(1-p)^(SUM(xi) - n)) = LN(p^n)+ LN((1-p)^(SUM(xi) - n))

    das muss man jetzt nach p ableiten und kommt so auf

    1/p^n * n * p^(n-1) + 1/(1-p)^(SUM(xi) - n) * (SUM(xi) - n) * (1-p)^(SUM(xi) - n - 1) * (-1) = ... = (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p))

    das muss man jetzt null setzten (denn das maximum ist ja die nullstelle der ersten ableitung)

    (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p)) = 0

    beide seiten mit p*(1-p) multiplizieren

    n-p*SUM(xi) = 0

    nach p umformen und man hat auch schon das ergebnis

    p = n/SUM(xi)
    ==========

    als probe kann man sich folgendes überlegen:

    bei der geom. verteilung ist das mittel = 1/p

    mü = 1/p => p = 1/mü

    der schätzer für das mittel ist das stichprobenmittel 1/n*SUM(xi) und wenn man das einsetzt, kommt man auf

    p = 1/(1/n*SUM(xi))

    doppelbruch auflösen und man hat wieder

    p = n/SUM(xi)

  • Quote from Tom


    l(p;x1,...,xn) = PROD(p(1-p)^(xi-1))
    das kann man umformen zu
    l(p;x1,...,xn) = p^n*(1-p)^(SUM(xi) - n)


    Äh, die Umformung da ist ja echt fies ;) . Könntest mir da vielleicht mit ein paar Zwischenschritten helfen, damit bei mir das selbe wie bei dir rauskommt? :confused:

    Quote


    1/p^n * n * p^(n-1) + 1/(1-p)^(SUM(xi) - n) * (SUM(xi) - n) * (1-p)^(SUM(xi) - n - 1) * (-1) = ... = (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p))


    Bitte hier ebenfalls Zwischenschritte posten - ich krieg da nicht das selbe raus. :)

    Quote


    bei der geom. verteilung ist das mittel = 1/p
    mü = 1/p => p = 1/mü


    Wie kommt man auf das wie kommt man dann davon auf den plausiblen Schätzer?
    Am besten wäre natürlich wenn sich wer die Arbeit antäte und nochmal den ganzen "Schluss" vom Beispiel etwas verständlicher aufschreiben würde.

    Bitte helft mir :thumb: .

    ciao, mac

  • Quote from MacOS X

    Äh, die Umformung da ist ja echt fies ;) . Könntest mir da vielleicht mit ein paar Zwischenschritten helfen, damit bei mir das selbe wie bei dir rauskommt? :confused:


    tja, da gibts leider keine zwischenschritte:

    PROD(p*(1-p)^(xi-1)) = da multipliziert wird
    PROD(p) * PROD((1-p)^(xi-1)) = einfach potenzrechenregeln anwenden
    p^n * (1-p)^(SUM(xi) - n)


    Quote from MacOS X


    Bitte hier ebenfalls Zwischenschritte posten - ich krieg da nicht das selbe raus. :)


    hab jetzt leider keine zeit, das allen abzutippen, aber im prinzip kürzt sich
    1/p^n * n * p^(n-1) zu n/p und das andere zu (n-SUM(xi))/(1-p), dann auf gleichen nenner bringen und kürzen und das wars auch schon

    Quote from MacOS X


    Wie kommt man auf das wie kommt man dann davon auf den plausiblen Schätzer?


    davon kommt man gar nicht auf den plausiblen schätzer, aber das zum schluss kann man sich nur überlegen als probe, dass das oben ausgerechnete auch stimmt.

  • Quote from Tom


    hab jetzt leider keine zeit, das allen abzutippen, aber im prinzip kürzt sich
    1/p^n * n * p^(n-1) zu n/p und das andere zu (n-SUM(xi))/(1-p), dann auf gleichen nenner bringen und kürzen und das wars auch schon


    Wenn du oder wer anderer noch die Zeit findet würd' ich mich sehr freuen ;) . Danke aber schon mal für alles bis jetzt :thumb: .

    Quote


    davon kommt man gar nicht auf den plausiblen schätzer, aber das zum schluss kann man sich nur überlegen als probe, dass das oben ausgerechnete auch stimmt.


    Hmmm ... und welches Ergebnis ist dann bitte der plausible Schätzer?

    Etwa: p = n/SUM(xi) ???
    Das ist ja die Lösung der Plausibilitätsgleichung. Kann man also sagen die Lösung der Plausibilitätsgleichung = der plausible Schätzer?

  • Quote from MacOS X

    die Lösung der Plausibilitätsgleichung = der plausible Schätzer?


    der plausible schätzer ist jene schätzfunktion deren wert mit maximaler wahrscheinlichkeit gleich dem gesuchten parameter ist


    differenzieren nach dem parameter und nullsetzen ergibt die gleichung für die extremwerte der wahrscheinlichkeiten

    :borg: we are the borg ... you will be assimilated ... resistance is futile

  • Quote from MacOS X

    1/p^n * n * p^(n-1) + 1/(1-p)^(SUM(xi) - n) * (SUM(xi) - n) * (1-p)^(SUM(xi) - n - 1) * (-1) = ... = (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p))


    Könnte bitte noch jemand die Zwischenschritte da posten. Ich krieg die selber einfach nicht hin :distur: .

    Als Belohnung gibt's wie immer von mir einen Reputation-point :) .

  • Quote

    1/p^n * n * p^(n-1) + 1/(1-p)^(SUM(xi) - n) * (SUM(xi) - n) * (1-p)^(SUM(xi) - n - 1) * (-1) = ... = (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p))

    Morgen :) !

    Ich hab diese Umformung auch noch immer nicht. Bitte, bitte noch posten - bald hab ich Übung! :ahhh:

    Diese Erklärung hat mir leider nicht geholfen :( weil zu wenig ausführlich:

    Quote


    1/p^n * n * p^(n-1) zu n/p und das andere zu (n-SUM(xi))/(1-p), dann auf gleichen nenner bringen und kürzen und das wars auch schon

  • Quote from Tom


    l*(p;x1,...,xn) = LN(l(p;x1,...,xn)) = LN(p^n*(1-p)^(SUM(xi) - n)) = LN(p^n)+ LN((1-p)^(SUM(xi) - n))


    das muss man jetzt nach p ableiten und kommt so auf

    1/p^n * n * p^(n-1) + 1/(1-p)^(SUM(xi) - n) * (SUM(xi) - n) * (1-p)^(SUM(xi) - n - 1) * (-1) = ... = (n-p*SUM(xi))/(p*(1-p))


    Das ist leider Falsch. Ich hab zwar von Stat keine Ahnung, aber Diff. können ich und mein Taschenrechner ganz gut ;)


    Also das LN schreibt man am besten anders an
    LN(p^n*(1-p)^(SUM(xi) - n)) = LN(p^n)+ LN((1-p)^(SUM(xi) - n)) = n*LN(p) + [SUM(xi)-n]*LN(1-p)


    Wenn man dann weiß, dass d LN(p) / dp = 1/p


    dann steht da


    n/p + [SUM(xi) - n] / (1-p)


    Ich schätze dass jetzt dann null setzen, so weit bin ich aer noch nicht.

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    "... wo ein Wille ist, ist auch ein oder!"


  • Sorry, dass versteh ich überhaupt nicht, kann mir das vielleicht noch jemand erklären ?


    achja, falls meine Rechnung vorher stimmen sollte, kommt für p=-n / (SUM(xi) - 2n) raus :)

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    "... wo ein Wille ist, ist auch ein oder!"

  • blöde frage, in den folien ist zu diesem thema was zu finden, nur dort heisst der parameter theta - soll "p" hier für dieses theta stehen, oder passt das, weil in der angabe "p" steht?

  • Quote from ChristofNeutron

    Das ist leider Falsch. Ich hab zwar von Stat keine Ahnung, aber Diff. können ich und mein Taschenrechner ganz gut ;)


    na, leider is es nicht falsch, weil du und dein taschenrechner vergessen haben auf gleichen nenner zu bringen. :)

    Quote from ChristofNeutron


    dann steht da
    n/p + [SUM(xi) - n] / (1-p)


    DAS is falsch, weil du die innere ableitung von LN(1-p) vergessen hast, die ist -1 und daher kommt nicht [SUM(xi) - n] / (1-p) sondern [n - SUM(xi)] / (1-p)

    außerdem hab ich in einem vorigen post schon mal geschrieben:
    "1/p^n * n * p^(n-1) wird zu n/p und das andere zu (n-SUM(xi))/(1-p)"

    wenn man das ganze noch auf gleichen nenner bringt, kommt das raus, was oben in den anderen posts steht.

    (aber zugegebenerweise hab diese logarithmusregel LOG(a^b) = b*LOG(a) vergessen und so ein bißchen umständlich differenziert)