Beispiel 10

  • Sei f(x,y) = x+y*cos1/y/x+y für 0 ungleich y ungleich -x ! Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte lim y->0 lim x->0 f(x,y) und lim x->0 lim y->0 f(x,y)! Existiert der Grenzwert lim (x,y)->(0,0) f(x,y)?

  • lim y->0 lim x->0 f(x,y) = lim y>0 cos 1/y = existiert nicht
    lim x->0 lim y->0 f(x,y) = 1
    lim (x,y)->(0,0) f(x,y) = existiert nicht
    Wie man auf letzteres aber folgern kann (Satz?), weiß ich nicht.

  • Um zu zeigen, dass lim (x,y)->0 von f(x,y) nicht existiert, hab ich mir folgendes überlegt:


    Ich zerleg den Bruch in zwei Brüche mit gleichen Nennern, und dividier die jeweils aus. Dann komm ich aus die Summe von vier Limiten, wobei einer lautet:


    lim (x,y) -> 0 von cos1/y


    und da der nicht existiert, gibt's für die ganze Summe keinen Grenzwert.


    Ist die Schlussfolgerung richtig, und kann man das überhaupt so zeigen, oder hab ich da nur sinnlos in der Gegend herumgerechnet?


    lg, Geli



  • ========================
    Hi,


    könntest du das vielleicht genau hinschreiben, ich verstehe nicht ganz wie du das meinst.


    lg

  • Also, ich hab mir das irgendwie so gedacht:
    (Ich hoff, ich hab da keinen Rechenfehler drin)



    den Bruch, der gegeben is, zerleg ich in zwei Partialbrüche:


    lim x/(x+y) + lim y*cos(1/y)/(x+y)



    die dividier ich dann jeweils aus, also komm ich auf


    lim (1 - y/(x+y)) + lim cos(1/y) - lim(x*cos(1/y)/(x+y))



    und mein Gedanke war, dass es für diese Summe gar keine Grenzwert geben kann, weil es ja für cos(1/y) keinen Grenzwert gibt.


    bimbo : den gibt's nicht, weil 1/y ja immer größer wird, und der Cosinus davon immer zwischen 1 und -1 schwingt.


    lg, Geli

  • hmm.. eine kleine bemerkung von mir dazu:
    bei den mathe1 übungen wars doch ein paarmal so dass der limes y* cos 1/y für y gegen null gefragt war....


    und der war immer sicherlich immer 0, weil cos 1/y kann man zwar nicht genau bestimmen, aber es bleibt immer beschränkt zwischen +-1... und y allein geht immer weiter gegen null, also y*cos1/y würde auch gegen null gehen...


    hmm.. viel weiter weiß ich dann aber auch nimmer.. mfg, Chris

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  • meine überlegungen hierzu:
    nach meiner interpretation bedeutet lim(x->0)lim(y->0) das ich erst den einen und dann den anderen limes berechne.


    Dann erhalte ich für
    lim(x->0)lim(y->0) :
    lim(y->0)f(x,y) = x/x = 1
    lim (x->0 ( lim y-> 0 f(x,y) ) = 1


    lim(y->0)lim(x->0):
    lim(x->0)f(x,y) = y(cos 1/y) / y = cos 1/y
    lim (y->0 ( lim x-> 0 f(x,y) ) = [-1,1]
    --- Anmerkung: lim(y->0) für cos 1/y = [-1,1] ---
    (edited, ich blödel)


    Für den letzten Fall hab ich keinen blassen Schimmer.
    just a guess, B.

  • Statt infinity (siehe letztes Posting) bekommt Mathematica Intervall[-1,1] raus. Ich nehme mal an, d.h. es gibt für diesen Fall keinen Grenzwert.


    Wenn meine Interpretation vom gleichzeitigem limes stimmt (nämlich dass ich dann x und y durch ein z->0 substituieren kann), gibt es auch hier ein Intervall und keinen Grenzwert.


    afair ist ja ein Grenzwert ein Häufungspunkt, also wenns periodisch schwankt, gibts auch keinen Grenzwert


    :rolleyes: eigentlich stand das alles schon im 2.Posting ...

  • für


    lim(x->0) lim(y->0) und
    lim(y->0) lim(x->0)


    stimme ich mit euch überein.


    kanns nicht sein, dass der lim (x,y)->(0,0) nicht existieren kann, weil es einen unterschied macht welchen lim ich zuerst berechne? das haben wir ja grad gezeigt. gibts da nicht einen satz oder irgend sowas?


    .tscherno

  • Zitat

    Original geschrieben von Shade
    okay,die ersten beiden sachen hab ich vertsanden,aber was ist ein "iterierter Grenzwert" ?


    also meines erachtens nach bedeutet das nix anderes, als dass du zuerst den grenzwert für den limes von einer Variable bestimmst und dann davon den für die andere... also eh wies da steht ;)


    Zitat


    aber der grenzwert für (0,0) sollte eigentlich nicht exestieren oder?:confused:


    jooo, das is hier die frage... kann mich dazu nur tschernos posting anschließen

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  • Zitat

    Original geschrieben von tscherno

    kanns nicht sein, dass der lim (x,y)->(0,0) nicht existieren kann, weil es einen unterschied macht welchen lim ich zuerst berechne? das haben wir ja grad gezeigt. gibts da nicht einen satz oder irgend sowas?


    http://fsmat.htu.tuwien.ac.at/…lysisIII/node16.html#1037


    Unter Anmerkung "1.3.17" steht genau das...
    und dort ist übrigens auch definiert, was ein iterierter Grenzwert ist...


    mfg, Chris

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