Beispiel 2

  • also für an -> a gilt ja |a - an| < eps
    |an| = |a - (a - an)| <= |a| + |a-an| (--> Dreiecksungleichung)
    jetzt wählt man eine zahl c >= |a| + eps;
    da ja |a - an| < eps das gleiche ist wie |a-eps| < an < |a+eps| muß jedes |an| <= c sein. und das für alle n element aus N(menge der nat. zahlen) was ja die bedingung für beschränktheit ist....naja, keine garantie für richtigkeit....

  • nachdem ich weder Ahnung habe noch brauchbare Unterlagen, hab ich ein bisserl im Internet gestöbert und habe Gefunden:
    Analysis I/II
    Kapitel 2: Metrische Räume
    link: http://www-irm.mathematik.hu-b…~baum/Skript/kapitel2.pdf


    Dort steht auch die Lösung für Aufgabe 2:
    Ist {xn} eine konvergente Folge eines Metrischen Raumes (X,d), so ist die Menge {x1,x2,...} eine beschränkte Teilmenge von X.
    BEWEIS:
    Analog zum Beweis aus Mathe 1.
    Man wählt eps = 1.
    Aus der Konvergenz folgt, dass es einen Grenzwert x und ein n0 gibt, sodass d(xn,x) < x für alle n>=n0
    Nun setzt man m:=max(d(x,x1)=+1,...,d(x,x<SUB>n0</SUB>)+1).
    Dann gilt d(x,xn) < m für alle n element N.
    Die Menge {x1,x2,..} (sprich die Folge) liegt damit in der Kugel K(x,m).


    Wer mir misstraut, soll selber nachlesen (ACHTUNG, 7 Meg DL).