Beispiel 408

  • Angabe: Man zeige mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes:


    cos2nx = Summe k=0 bis n (2n über 2k) * (cosx)^2k * (-1)^n-k * (sinx)^2n-2k


    Lösung: n=1: cos2*1x=(cos^2 x - sin^2 x)^1


    n=2: cos2*2x=(cos2x)^2 - (sin2x)^2 = (cos^2 x - sin^2 x)^2 - (2sinxcosx)^2 = cos^4 x - 2cos^2 x sin^2 x + sin^4 x - 4sin^2x cos^2 x = cos^4 x - 6cos^2 x sin^2 x + sin^4 x


    Probe: n=2: cos4x = (4 über 0) * (cosx)^0 * (-1)^2 * (sinx)^4 + (4 über 1) * (cosx)^2 * (-1)^1 * (sinx)^2 + (4 über 4) * (cosx)^4 *(-1)^0 * (sinx)^0 = sin^4 x -6*cos^2 x sin^2 x + cos^4 x


    Weiter weiß ich leider auch nicht!

  • das geht mit komplexen zahlen.


    cos 2nx = Real ( cos(2nx)+ i*sin(2nx) ) = //den rechten teil aus den fingern saugen...
    =Real ( (cos x + i*sin x)^2n) = //formel von moivre
    =Real ( Summe k=0 bis 2n von (2n über k) * (cos x)^k * i^(2n-k) (sin x)^(2n-k))
    //da nur der realteil gesucht ist, können wir die komponenten, bei denen der exponent von i ungerade ist, weglassen, was dann auf folgende summe führt:
    Summe k=0 bis n von (2n über 2k) (cos x)^2k * (-1)^(n-k) * (sin x)^(2n-2k)


    qed.


    selbst der gscheite drmota hat das beispiel mit "zauberei" bezeichnet ;-)

  • das da oben ist nur die probe ob die formel überhaupt stimmt. das ist nicht mal der ansatz eines beweises.


    wir (urbanek) haben auch keine lösung bekommen, da sonst die anderen gruppen ja einfach nur abschreiben könnten.


    <hint>um das bsp zu lösen muss man über komplexe zahlen gehen</hint>


    .tscherno


  • oida das check ich jetzt aber nicht. natürlich soll man überprüfen, ob die formel stimmt. und das ist deswegen ein beweis, weil man ja zeigen kkann, dass die formel stimmt. außerdem sind eh komplexe zahlen dabei.

  • Zitat

    Original geschrieben von nachtmensch


    oida das check ich jetzt aber nicht. natürlich soll man überprüfen, ob die formel stimmt. und das ist deswegen ein beweis, weil man ja zeigen kkann, dass die formel stimmt. außerdem sind eh komplexe zahlen dabei.


    tscherno hat wohl nicht dich gemeint, denn sein Beitrag ist nur eine Minute jünger als deiner...

  • Zitat

    Original geschrieben von Dimitrij


    tscherno hat wohl nicht dich gemeint, denn sein Beitrag ist nur eine Minute jünger als deiner...


    genau so ist es... ;)


    sorry wenns ein bisschen verwirrend war, aber wie ich mein posting geschrieben hab, war von deiner lösung noch nichts zu sehen.


    .tscherno