Aftertest 27.04.2018

  • Soweit ich mich errinnern kann waren die Aufgaben wie folgt:


    1. Aufgabe

    Multiple Choice Fragen:


    • ?
    • ?
    • Was gilt für $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}\pm$

      • konvergent
      • divergent
      • absolut konvergent
      • bedingt konvergent



    • Was ist $\sum_{n\geq 0}(-1)^n \frac{x^n}{n!}$

      • $\sin x$
      • $\cos x$
      • $e^{-x}$
      • $e^x$




    2. Aufgabe

    Gammafunktion
    $\begin{align*}
    \label{eq:26}
    \Gamma(x)=\int_0^{\infty}e^{-t}t^{x-1}dt
    \end{align*}$



    • Berechnen von $\Gamma(1)$.
    • Beweisen, dass $\lim_{t\rightarrow\infty}\frac{t^x}{e^{-t}}=0$ (Anwenden der Regel von de l'Hospital)
    • Beweisen, dass $\Gamma(x)=x\cdot\Gamma(x-1)$. (Partialbruchzerlegung und Anwendung von Punkt (2)).



    3. Aufgabe


    $f(x,y)=x\cdot y$



    • Berechnen und Skizzieren der Höhenlinien für $c=0$, $c=\pm 1$ und $c=\pm2$. Welcher Kurve entsprechen die Höhenlinien?
    • Beweisen, dass der Punkt $(0,0)$ eine Sattelstelle von $f(x,y)$ ist.
    • Richtungsableitungen nach $\vec{v}_1=\frac{1}{5}(3,-4)$, $\vec{v}_2=\frac{1}{\sqrt{5}}(-1,2)$ u. maximaler/minimaler Anstieg in einem Punkt $P$ den ich vergessen habe.



    4. Aufgabe


    Man löse die Differentialgleichung $y'-2xy=e^{x^2}$ für die Anschlussstelle $y(0)=1$


    5. Aufgabe


    Man formuliere zunächst den Hauptsatz der Differential und Integralrechnung und
    skizziere dessen Beweis.