Blatt 4 Bsp 19a

Slaybert · Nov 7th 2013

Man berechne folgenden Grenzwert ohne Regel von de l'Hospital:

$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{2}{1-x^2} -\frac{3}{1-x^3} \right) $

Ich hab schon probiert Terme auf einen Nenner bringen, Nenner faktorisieren, Terme einzeln betrachten, erweitern und anschließendes Kürzen,...
Ich habe immer wieder einen gegen 0 strebenden Nenner
Wär für jeden Hinweis dankbar.

Philipp H. · Nov 7th 2013

Quote from Slaybert

Man berechne folgenden Grenzwert ohne Regel von de l'Hospital:

$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{2}{1-x^2} -\frac{3}{1-x^3} \right) $

Ich hab schon probiert Terme auf einen Nenner bringen, Nenner faktorisieren, Terme einzeln betrachten, erweitern und anschließendes Kürzen,...
Ich habe immer wieder einen gegen 0 strebenden Nenner
Wär für jeden Hinweis dankbar.

Hallo,

das ist eine ganz schöne Rechnerei...

$ \lim_{x \to 1} \left( \frac{2}{1-x^2} -\frac{3}{1-x^3} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{2*(1-x^3)-3*(1-x^2)}{(1-x^2)*(1-x^3)} \right) Nebenrechnung: (1-x^2) = (x-1)*(x+1)*(-1) (1-x^3) = (x-1)*(x^2+x+1)*(-1) \lim_{x \to 1} \left( \frac{2*(1-x^3)-3*(1-x^2)}{(1-x^2)*(1-x^3)} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{2*(x-1)*(x^2+x+1)*(-1) - 3*(x-1)*(x+1)*(-1)}{(x-1)*(x+1)*(-1)*(-1)*(x-1)*(x^2+x+1)} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{-2*(x^2+x+1) + 3*(x+1)}{(x+1)*(x-1)*(x^2+x+1)} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{-2x^2+x+1}{(x+1)*(x-1)*(x^2+x+1)} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{(-1)*(x-1)*(2x+1)}{(x+1)*(x-1)*(x^2+x+1)} \right) = \lim_{x \to 1} \left( \frac{-2x-1}{(x+1)*(x^2+x+1)} \right) = \frac{-2-1}{(1+1)*(1^2+1+1)} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} $

LG.
Phil

Slaybert · Nov 7th 2013

Danke, aber ich denke der Grenzwert ist 0.
Wenn man sich den Graphen (die konstante Funktion ist -1/2) anschaut, dann sieht es so aus.

Blatt4_Bsp19a.jpg

Nefret · Nov 7th 2013

Hallo

Quote from Slaybert

Danke, aber ich denke der Grenzwert ist 0.
Wenn man sich den Graphen (die konstante Funktion ist -1/2) anschaut, dann sieht es so aus.

Du hast natürlich Recht, aber unser x wächst gegen 1 und nicht unendlich, dann ist auch unser Grenzwert anders.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+%282%2F%281-x^2%29%29-%283%2F%281-x^3%29%29
Wolframalpha sagt es auch.

MfG

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