Bsp 54 +Frage zum VoWi (Formatieren von Gleichungen)

  • Habe den selben Ansatz, nur bin ich gerade zu unfähig um die Äquivalenzumformung richtig hinzubekommen. :shiner:


    Wie kommst du bei der zweiten Zeile im Induktionsschritt auf die -1 auf der rechte Seite?
    Ich komme am Ende der Umformungen immer wieder auf -1 = 0, egal wie ichs drehe und wende, komme nicht auf die -1 rechts.
    Bin nur langsam schon so planlos, finde den Fehler einfach nicht.


    Danke schonmal! :)

  • Slaybert :
    Das ist leider nicht ganz die richtige Vorgehensweise, wenn wir etwas via vollständiger Induktion zeigen wollen.
    Was wir tun wollen ist nicht auf 1=1 kommen, sondern den nächsten Induktions-Schritt (Induktions-Behauptung), durch Einsetzten der Induktions-Voraussetzung, für die wir die Gültigkeit mit dem Induktions-Anfang gezeigt haben, in die Induktions-Behauptung und Umformen zu bilden.
    Wir schließen also von

    auf

    . Da wir gezeigt haben dass unsere Induktions-Voraussetzung für

    gültig ist und zeigen, dass wir mit der Induktions-Voraussetzung von

    auf

    schließen können, muss

    (die Induktions-Behauptung) ebenfalls gültig sein und damit auch alle darauf folgenden Glieder der Folge, da sich alle folgenden Glieder aus der gültigen Induktions-Voraussetzung von

    entwickeln.


    Bei diesem konkreten Beispiel schaut die korrekt umgesetzte vollständige Induktion folgendermaßen aus:


    Induktions-Anfang:
    Wir zeigen durch einsetzen von konkreten Werten, dass die Induktions-Voraussetzung

    ab einem bestimmten Wert gilt. In diesem Fall ist das schon ab 0 der Fall, daher wollen wir mit der vollständigen Induktion jetzt mit hilfe der gültigen Induktions-Voraussetzung zeigen, dass unsere Induktions-Behauptung für alle Werte

    gilt.


    Induktions-Schritt:


    Wir setzen die Induktions-Voraussetzung in die Induktions-Behauptung ein. Normalerweise müsste man diese erst so umformen, dass man das tun kann, da wir eine rekursive Funktion gegeben haben, können wir das direkt machen. Wir ersetzen einfach

    in der Induktions-Behauptung durch

    und erhalten:


    Das Ziel ist jetzt durch Umformungen auf die Form von

    also

    zu kommen. Damit zeigen wir, dass tatsächlich beim Verwenden dieser Induktions-Voraussetzung in der Rekursion der nächste Schritt ebenfalls der Form der Induktions-Voraussetzung entspricht, und folglich auch jeder weitere.


    Also, anstatt Äquivalenz-Umformungen auf beiden Seiten der Gleichung zu machen, formen wir lediglich die rechte Seite um. Das ist in diesem Fall relativ leicht, bei schwierigeren Induktions-Voraussetzungen bzw. Behauptungen müssen wir unter Umständen durchaus sehr viele komplizierte Umformungen auf beiden Seiten vornehmen.


    n! kürzt sich weg, n im Zähler kürzt sich weg und (n+1)n! kann zu (n+1)! zusammengefasst werden, also bleibt übrig:


    Wir sehen; die rechte Seite repräsentiert jetzt tatsächlich den nächsten Induktions-Schritt in der Induktions-Voraussetzung, die Induktions-Behauptung ist somit gültig Q.E.D.


    Ich hoffe ich konnte die vollständige Induktion einigemaßen verständlich erklären, es ist nicht einfach diese Vorgehensweise wirklich zu verstehen bzw. die Relevanz der methodisch korrekten Vorgehensweise, um eben auch bei schwierigeren Problemen weiter zu kommen.

    Edited once, last by AR. ().

  • Slaybert :
    Das ist leider nicht ganz die richtige Vorgehensweise, wenn wir etwas via vollständiger Induktion zeigen wollen.
    Was wir tun wollen ist nicht auf 1=1 kommen, sondern den nächsten Induktions-Schritt (Induktions-Behauptung), durch Einsetzten der Induktions-Voraussetzung, für die wir die Gültigkeit mit dem Induktions-Anfang gezeigt haben, in die Induktions-Behauptung ....


    Diese Vorgehensweise ist richtig, weil sie mittels vollständiger Induktion zeigt dass

    für die gegebene Folge und alle n>=0 gilt.


    Durch das Einsetzen [A(n) in A(n+1) und andererseits (n+1) in A(n)] habe ich zwei verschiedene A(n+1) erhalten. Durch Äquivalenzumformungen habe ich gezeigt, dass diese gleich sind.
    Weil ich dabei A(n) in A(n+1) eingesetzt habe und dann mit dem A(n+1) verglichen habe bei dem ich einfach n durch n+1 ersetzt habe, muss A(n) für alle n>=0 (siehe Induktionsanfang) gelten.


    Ich hoffe das ist nachvollziehbar.



    Du hast eine andere Vorgehensweise gezeigt, die auch richtig ist.

  • Das stimmt schon, was du machst führt zum richtigen Ergebnis und ist in diesem Fall völlig korrekt :)
    Ich wollte nur darauf hinweisen wie man imho methodisch korrekt vorgeht; nämlich im Sinne der vollständigen Induktion vom vorherigen auf den nächsten Schritt schließt. Wie gesagt, bei komplexeren Beispielen wird man irgendwann nicht mehr nur Äquivalenzumformungen verwenden können und bestimmte Umformungen gehen nur in eine Richtung, dann ist es wichtig in die richtige Richtung zu arbeiten, da die Umkehrung nicht mehr gültig ist. Außerdem kommt so (laut Tutor) bei Tests oder an der Tafel besser rüber, dass man das Prinzip der vollständigen Induktion verstanden hat. Unser Tutor hat die Lösung via Äquivalenzumformungen auf beiden Seiten nicht so ohne weiteres durchgehen lassen, das war auch ein Grund warum ich hier darauf hinweisen wollte.

  • freak007
    Rechenregeln für Faktorielle; man kann herausheben:


    Allgemeiner:


    Faktorielle sind rekursiv definiert:

    wobei gilt:


    Nach dem Herausheben kann man kürzen und kommt schließlich auf das gewünschte Ergebnis: