Übungsblatt 4 Beispiel 3

[Schlingel]

Hallo,

da stehe ich irgendwie voll an. Kann mir da jemand weiterhelfen?

[schubiduu]

Man soll die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, diese ist nichts anderes als (Siehe dazu Foliensatz Seite 10). Nun muss man sich noch die beiden Wahrscheinlichkeiten und mit Hilfe der Information aus dem Bayes'schen Netz berechnen.

Zuerst einmal können wir uns mit Hilfe der Marginalisierung (Seite 9) herleiten, dass sich als eine Summe von Wahrscheinlichkeiten ausdrücken lässt, nämlich all jenen, in denen alle möglichen Kombinationen von Werten der anderen Variablen (also nicht G,B,E) gemeinsam mit unseren fixierten Variablen vorkommen.

Das heißt dann also

Wenn wir diese Summe nun haben, müssen wir nur mehr die einzelnen Wahrscheinlichkeiten, also , usw. berechnen.

Seite 22 im Foliensatz stellt uns folgende Formel aus der Definition eines Bayes'schen Netzes bereit:

Dasselbe dann auch noch für , wobei es zugegebenermaßen relativ aufwändig ist. Ein ähnliches Beispiel ist übrigens auch in den Folien ab Seite 24.

[ri_ba]

Dasselbe dann auch noch für , wobei es zugegebenermaßen relativ aufwändig ist. Ein ähnliches Beispiel ist übrigens auch in den Folien ab Seite 24.

Laut diesem Beispiel kann man dafür , was wir schon haben, und einfach zusammenrechnen, um zu erhalten.

[schubiduu]

Laut diesem Beispiel kann man dafür , was wir schon haben, und einfach zusammenrechnen, um zu erhalten.

Das stimmt, so habe ich es auch gemacht, man muss aber immerhin auch berechnen.

[ri_ba]

Irgendwie ist mir nicht ganz klar, wie man diese 32 Möglichkeiten zusammenfasst. A,C,D,F und H können ja jeweils immer true und false sein. Wie macht man das kleiner, indem man die Eingenschaften eines Bayesschen Netzes anwendet? Werd da irgendwie nicht schlau draus.

[schubiduu]

Die Fälle in denen D nicht gilt, ergeben eine Wahrscheinlichkeit von 0, da E ja in allen Fällen negativ ist und - somit halbiert sich die Zahl der Summanden und es bleiben nur mehr 16 über.

[jan26]

Sind es nicht eigentlich nur 8 Fälle, da es F ja nicht gibt?

Und was habt ihr für eine Lösung, für P(G|B,nicht E)?
Bei mir kommt 0.2 raus, kann das jemand bestätigen?

[schubiduu]

Bei mir kommt 0.2 raus, kann das jemand bestätigen?

Ja!

[.alexander]

Kann man hier die d-seperation verwenden um weniger zu rechnen?

Edit: Habe es eben genauer betrachtet. Funktioniert eiwandfrei. Mit den Unabhängigkeiten durch die d-seperation braucht man nur zwei Summanden für P(G,B,-E) anstatt acht.

[ag01]

Kann man hier die d-seperation verwenden um weniger zu rechnen?

Edit: Habe es eben genauer betrachtet. Funktioniert eiwandfrei. Mit den Unabhängigkeiten durch die d-seperation braucht man nur zwei Summanden für P(G,B,-E) anstatt acht.

Wie hast du das gemacht? Irgendwie kann ich mit der d separation in diesem Zusammenhang nichts anfangen aber zwei statt acht Summanden sollte um einiges einfacher sein ... kannst das kurz erklären?

[.alexander]

Wie hast du das gemacht? Irgendwie kann ich mit der d separation in diesem Zusammenhang nichts anfangen aber zwei statt acht Summanden sollte um einiges einfacher sein ... kannst das kurz erklären?

X and Y are conditionally independent given evidence E ⇐⇒ E d-separates X and Y .

Gesucht ist P(G|B,-E)
Evidence ist B und -E
Der Knoten E d-separates G von C nach d-separation-Regel 1.
Der Knoten E d-separates G von H nach d-separation-Regel 2.

P(G|B,-E) = P(G,B,-E) / P(B,-E)
P(G,B,-E) = P(G,B,-E,A,D) + P(G,B,-E,A,-D) + P(G,B,-E,-A,D) + P(G,B,-E,-A,-D) = ....

wobei P(E) = P(E|C)*P(C) + P(E|-C)*P(-C) und P(-E) die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit ist.

....



Mein Ergebnis ist jedoch 0.184 . Diesen Wert erhalte ich mit so wie auch ohne d-separation. Ich hatte Anfangs auch 0.2 wie die Kollegen. Bei den 0.2 ist mir aber ein Fehler bei der Berechnung von P(-G,B,-E) unterlaufen (zuviele Summanden wegfallen lassen).

Kann auch sein, dass es falsch ist.

[rtbam]

Gesucht ist P(G|B,-E)
Evidence ist B und -E
Der Knoten E d-separates G von C nach d-separation-Regel 1.
Der Knoten E d-separates G von H nach d-separation-Regel 2.

P(G|B,-E) = P(G,B,-E) / P(B,-E)
P(G,B,-E) = P(G,B,-E,A,D) + P(G,B,-E,A,-D) + P(G,B,-E,-A,D) + P(G,B,-E,-A,-D) = ....

wobei P(E) = P(E|C)*P(C) + P(E|-C)*P(-C) und P(-E) die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit ist.

....



Mein Ergebnis ist jedoch 0.184 . Diesen Wert erhalte ich mit so wie auch ohne d-separation. Ich hatte Anfangs auch 0.2 wie die Kollegen. Bei den 0.2 ist mir aber ein Fehler bei der Berechnung von P(-G,B,-E) unterlaufen (zuviele Summanden wegfallen lassen).

Kann auch sein, dass es falsch ist.

komme mit denselben überlegungen bzw dem gleichen ansatz auch auf 0.184 - rechenfehler dürfte also zumindest keiner mehr drinnen sein auf 0.2 komm ich nur, wenn bei berechnung von P(-G,B,-E) bzw von P(B,-E) die terme mit -D weggelassen werden (wegen der Gegenwahrscheinlichkeit wird aber aus P(G|-D,-E) = 0 => P(-G|-D,-E) = 1 !)

[_gerald_]

Wie viele Eintraege streichen sich bei euch nun von den 32 weg? Bei mir sinds 12.

[rtbam]

Wie viele Eintraege streichen sich bei euch nun von den 32 weg? Bei mir sinds 12.

ich komm auf 2 Summanden für P(G|B,-E), 3 für P(-G|B,-E), H und C ignorier ich, weil sie dank E keinen Einfluss auf G mehr haben, durchs -D fallen bei ersterem 2 Terme weg, durchs P(-D|A,B) beim zweiten einer. (also von jeweils 4 gehts damit auf 2/3)

[mingy]

Hm eine Frage. Welchen Wahrscheinlichkeitswert hatte bitte -G? Das ist durch hier nirgends angegeben?

Edit: Ah. Gegenwahrscheinlichkeit. Check! Right? Warum ignoriert ihr alle C? C ist doch über -E mit G verbunden. -E bedeutet ja nur dass das aus der bedingten Wahrscheinlichkeit P(G|D,E) ein paar Möglichkeiten rausfallen, aber nicht dass C irrelevant wird oder versteh ich da was falsch? Das Nicht-eintreten von E (also -E) hat doch eine Wahrscheinlichkeit. Oder?

[mingy]

Gesucht ist P(G|B,-E)
Evidence ist B und -E
Der Knoten E d-separates G von C nach d-separation-Regel 1.
Der Knoten E d-separates G von H nach d-separation-Regel 2.

P(G|B,-E) = P(G,B,-E) / P(B,-E)
P(G,B,-E) = P(G,B,-E,A,D) + P(G,B,-E,A,-D) + P(G,B,-E,-A,D) + P(G,B,-E,-A,-D) = ....

wobei P(E) = P(E|C)*P(C) + P(E|-C)*P(-C) und P(-E) die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit ist.

....



Mein Ergebnis ist jedoch 0.184 . Diesen Wert erhalte ich mit so wie auch ohne d-separation. Ich hatte Anfangs auch 0.2 wie die Kollegen. Bei den 0.2 ist mir aber ein Fehler bei der Berechnung von P(-G,B,-E) unterlaufen (zuviele Summanden wegfallen lassen).

Kann auch sein, dass es falsch ist.

Nur aus Interesse. Welche Wahrscheinlichkeit hat P(C)?

Edit: Hab mich durch's nichtlesen der angabe selbst disqualifiziert. Hab nur auf die Tabellen geschaut.

[rtbam]

Hm eine Frage. Welchen Wahrscheinlichkeitswert hatte bitte -G? Das ist durch hier nirgends angegeben?

Edit: Ah. Gegenwahrscheinlichkeit. Check! Right? Warum ignoriert ihr alle C? C ist doch über -E mit G verbunden. -E bedeutet ja nur dass das aus der bedingten Wahrscheinlichkeit P(G|D,E) ein paar Möglichkeiten rausfallen, aber nicht dass C irrelevant wird oder versteh ich da was falsch? Das Nicht-eintreten von E (also -E) hat doch eine Wahrscheinlichkeit. Oder?

C ignorieren heißt in dem fall, es nur für die berechnung von P(-E) heranzuziehen. beim aufstellen der summanden für P(G,B,-E) spielts sonst keine rolle, weil diese wahrscheinlichkeit unabhängig von C ist (weil wir ja schon wissen, das -E eingetreten ist..)

[mingy]

C ignorieren heißt in dem fall, es nur für die berechnung von P(-E) heranzuziehen. beim aufstellen der summanden für P(G,B,-E) spielts sonst keine rolle, weil diese wahrscheinlichkeit unabhängig von C ist (weil wir ja schon wissen, das -E eingetreten ist..)

I c. Naja ich hab darauf keine besondere Rücksicht genommen. Ich hab die Produkt Regel mit den Patents auf alle Permutationen der freien vars gemacht. Da kommt bei mir c bzw. 1-c in jedem Summanden vor. Endergebnis is bei mir 0,184. war die keulenmethode aber es klappt. trotzdem danke für die Erörterung!

[Schlingel]

Ich checke nicht so ganz wie ich da was zerlegen muss, damit ich mir sinnvoll etwas ausrechnen kann. Würde sich jemand erbarmen und mir das erklären? Das wäre sehr nett.

[Oldboy]

Ich checke nicht so ganz wie ich da was zerlegen muss, damit ich mir sinnvoll etwas ausrechnen kann. Würde sich jemand erbarmen und mir das erklären? Das wäre sehr nett.

Hier ist mal meine Lösung:

Wir wissen, dass B und -E auf jeden Fall eintreten, deswegen ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1 und da wir multiplizieren, können wir die beiden dann eigentlich ignorieren.
Das Ergebnis wird sich aber nicht ändern, wenn man B und -E in die Berechnung mit einbezieht. Um das zu zeigen, habe ich B bei meinen Formeln auch dabei. Denn so sieht man, dass man B überall herausheben kann und bei der Divsion am Schluss heben sich die Bs dann gegenseitig auf.

[Schlingel]

Gute Argumentation. Habe das nachvollziehen können und bin einverstanden :-D

Danke!

[Mobe]

Bin grad am Durchrechnen des Beispiels und blick einfach nicht durch...
ich wollt mir mal P(G,B,-E) berechnen:

P(G,B,-E) = P(B) * P(-E) * [P(G|D,-E) * P(A) * P(D|A,B) + P(G|D,-E) * P(-A) * P(D|-A,B)] (die zwei Terme mit P(G|-D,-E) hab ich weggelassen, da diese ja wegfallen)
Damit komm ich auf P(G,B,-E)=0,091264 was ja augenscheinlich nicht richtig ist. Wo ist mein Fehler??

[thrau]

ich hab die lösung im vowi ausgeschrieben: link

vielleicht hift dir das zum abgleichen.

[Oldboy]

Bin grad am Durchrechnen des Beispiels und blick einfach nicht durch...
ich wollt mir mal P(G,B,-E) berechnen:

P(G,B,-E) = P(B) * P(-E) * [P(G|D,-E) * P(A) * P(D|A,B) + P(G|D,-E) * P(-A) * P(D|-A,B)] (die zwei Terme mit P(G|-D,-E) hab ich weggelassen, da diese ja wegfallen)
Damit komm ich auf P(G,B,-E)=0,091264 was ja augenscheinlich nicht richtig ist. Wo ist mein Fehler??

Wenn du dich nicht verrechnet hast, dann stimmt dein Ergebnis. In meiner Lösung habe ich nicht wirklich P(G,B,-E) ausgerechnet, weil ich -E in meinen Formeln nicht miteinbezogen habe (was eigentlich falsch ist). Da wir allerdings P(G|B,-E) ausrechnen wollen, wissen wir, dass B, und -E eingetroffen sind, deshalb können wir B und -E beim Rechnen auslassen. Allerings sollte man dann vielleicht bei der Prüfung mMn nicht P(G,B,-E) hinschreiben, da das eigentlich nicht stimmt (auch wenn der Tutor es bei der Übung auch so gemacht hat).
Das Endergebnis sollte aber bei beiden Methoden dasselbe sein, weil man B und -E sowohl im Nenner als auch im Zähler herausheben kann und sie sich somit aufheben.

[Tiuz]

Wir wissen, dass B und -E auf jeden Fall eintreten, deswegen ist die Wahrscheinlichkeit dafür 1 und da wir multiplizieren, können wir die beiden dann eigentlich ignorieren.
Das Ergebnis wird sich aber nicht ändern, wenn man B und -E in die Berechnung mit einbezieht. Um das zu zeigen, habe ich B bei meinen Formeln auch dabei. Denn so sieht man, dass man B überall herausheben kann und bei der Divsion am Schluss heben sich die Bs dann gegenseitig auf.

Für dieses Beispiel ist das richtig, aber dann ist die Schreibweise für z.B.: P(G,B,¬E,A,D)=P(G|D,¬E)∗P(B)∗P(A)∗P(D|A,B) falsch. Da hier ja nun die Wahrscheinlichkeit für P(¬E) fehlt. Somit sind alle Zwischenschritte falsch da es formal nicht korrekt ist und immer nur im Zusammenhang mit dem jeweiligen Beispiel stimmt. Wie kann man das dann anders hinschreiben, sodass man sich die Berechnung für die Evidenzen spart und dennoch formal korrekt bleibt?

[Schlingel]

Zieh es einfach mit und kürz es am Schluss.