After Prüfung 02.03.2012

[Sharky]

Ich hab mir gedacht ich bin einmal so frei und lade hier mal für alle Interessierten die Angabe von der Prüfung vom 2.3. hoch
Damits keine Verwechslungen gibt: war die Algebra und Diskrete M. Prüfung vom 2.3. im Hörsaal EI3 aber ich denk die werden überall gleich gewesen sein.

[]af[]

Was für ne Prüfung...

Hat wer das Induktionsbsp. beweisen können?

[neptunez]

Was für ne Prüfung...

Hat wer das Induktionsbsp. berechnen können?

Nope. Und ja, was für ne Prüfung...

[]af[]

Mann kann die Summe auch so hinschreiben = (3 (3 n + n^2))/(2 (n+1) (n+2)) irgendwie scheint es nicht zu stimmen..

[1student]

Ich bin zwar nicht angetreten, aber ich glaube, dass man es so macht:

Zuerst einmal 1 einsetzen, weil es für alle n>=1 gelten soll, dann kommt 1=1 raus

Dann n+1:
Summe(von k=1 bis n+1) = Summe(von k=1 bis n) + 1/(n+3 über 3)
3/2 - 3/((n+2)*(n+3)) = 3/2 - 3/((n+1)*(n+2)) + 1/(n+3 über 3)

und das muss man noch irgendwie vereinfachen,..aber keine Garantie auf Richtigkeit

[churchill]

I.S. :
1/(n+3 über 3) + 3/2 - ( 3/((n+1)*(n+2)) = 3/2 - 3/((n+2)*(n+3))
leider hab ich es nicht ordentlich bis zum Beweis geschafft, weil ich bei der Auflösung von 3! * n!/(n+3)! angestanden bin...

Auch die Differenzengleichung war ein Hammer... a) habe ich ja noch geschafft, aber weiter nicht

[DarkInferno]

Der Trick bei Fakultäten ist immer dass man (n+x)! aufspalten kann... hier (n+3)! = (n+3)*(n+2)*(n+1)*n!
Dann kannste kürzen und es löst sich (meist) alles einfach auf

[Paulchen]

I.S. :
1/(n+3 über 3) + 3/2 - ( 3/((n+1)*(n+2)) = 3/2 - 3/((n+2)*(n+3))

3/2 abziehen, den Teil ohne Binomialkoeffizient addieren (beide Schritte sind Äquivalenzumformungen und n ist ja eh positiv, daher keine Probleme mit 0 im Nenner).

leider hab ich es nicht ordentlich bis zum Beweis geschafft, weil ich bei der Auflösung von 3! * n!/(n+3)! angestanden bin...

Man kann durch n! kürzen, dann bleint 6/((n+1)(n+2)(n+3)) übrig. Dann muss man nur noch die rechte Seite auf gemeinsamen Nenner bringen (eben (n+1)(n+2)(n+3)) und ist fertig.

[churchill]

Man kann durch n! kürzen, dann bleint 6/((n+1)(n+2)(n+3)) übrig. Dann muss man nur noch die rechte Seite auf gemeinsamen Nenner bringen (eben (n+1)(n+2)(n+3)) und ist fertig.

Ja das durch n! kürzen hat mir gefehlt, an das habe ich leider nicht gedacht gehabt... Zumindest ist bei mir auf beiden Seiten noch das selbe rausgekommen wenn man für n eingesetzt hat. Naja der eine Schritt fehlt halt :S

[Huggy]

Das Induktionsbeispiel hab ich wie von Paulchen aufgezeigt gelöst - das sollte Punkte retten. Bei den Eigenwerten hatte ich ein Blackout, das wollte nicht so ganz wie ich. Das 3er habe ich mit Müh und Not zusammenreimen können, basiert aber auf Annahmen weil ich die Matrizenmultiplikation nicht sicher richtig habe.. Den Homomorphismus zu beweisen hab ich nicht geschafft, rest von 4 schon - 5 sollte Großteils richtig sein.

4rer mit Handkuss, bitte ;-)

Aber im Ernst, die Prüfung fand ich hart. KEINE Kombinatorik, Differenzengleichung NUR, wenn du die Matrix geschafft hast. Riesen Themen kommen nicht, aber in 5 Minuten erklärte Detailfragen en masse.
Dazu ein Prüfungsaufseher, der keine 5 Minuten ruhig bleiben kann und permanent "Weg mit dem Fetzen! Die Bomb' da legen wir woanders hin!" schreit und die Uhrzeit nicht auf die Tafel schreibt .. es gibt besseres.

Mal schauen was es wird, sonst kann die nächste ja fast nur einfacher werden

[HMark]

Ja kann ich nur bestätigen, die Prüfung war das schwierigste was ich bisher so an Mathe Prüfungen gesehen habe. Vor allem keine Differenzengleichung ohne dieser kryptischen Angabe, mit der ich nichts anzufangen wusste (Habe überhaupt noch nie so eine seltsame Angabe in den Beispielen gefunden). Auch hatten anscheinend sehr viele Leute dasselbe Problem bei dem etwas gefinkeltem Induktionsbeweis.

[Apfelmann]

Also ich hab sie auch relativ schwer gefunden, vor allem kam meiner Meinung nach sehr viel blöde Theorie.
Also ich hab alle Beispiele so halbwegs, aber kaum eins völlig vollständig.
Mal hoffen dass sich der 4er ausgeht.

[DarkInferno]

Also die schwerste ist das definitiv nicht, da kenn ich ganz andere Kaliber.
Einzig gemeine Beispiel meiner Meinung nach ist das dritte, 1+2+4 sind nicht schwer und gabs teilweise in Klausuren so auch schon mal (halt mit anderen Zahlen)

[hijack]

Ganz andere Kaliber ? Mathe informatik ? Da waren die (damals) schwierigen Gittenberger Prüfungen ein Gedicht vergleichsweise. Bin auch anderes vom Panholzer gewöhnt, allein schon der Ton hat mich irritiert "man löse die (sehr einfache) Differenzengleichung ... blabla... diese kann man dann (problemlos) lösen" . Die Kommentare waren unnötig, die Binomial Geschichte in der Induktion genauso, Differenzengleichungen unnötig kompliziert. Mein nächster Antritt ist garantiert bei einem anderen Prüfer, vielleicht hat das der Prof. beabsichtigt, muss er weniger korrigieren beim nächsten mal. Sry, i bin einfach sauer, weil ich wirklich gelernt habe für die Prüfung und jetzt das ganze wieder machen kann.

lg hijack

[]af[]

Ganz andere Kaliber ? Mathe informatik ? Da waren die (damals) schwierigen Gittenberger Prüfungen ein Gedicht vergleichsweise. Bin auch anderes vom Panholzer gewöhnt, allein schon der Ton hat mich irritiert "man löse die (sehr einfache) Differenzengleichung ... blabla... diese kann man dann (problemlos) lösen" . Die Kommentare waren unnötig, die Binomial Geschichte in der Induktion genauso, Differenzengleichungen unnötig kompliziert. Mein nächster Antritt ist garantiert bei einem anderen Prüfer, vielleicht hat das der Prof. beabsichtigt, muss er weniger korrigieren beim nächsten mal. Sry, i bin einfach sauer, weil ich wirklich gelernt habe für die Prüfung und jetzt das ganze wieder machen kann.

lg hijack

sehe ich genau so...

[sebbyblaze]

Was habt ihr beim 3.a) ? Ich kriege x1=4 y1= 4 x2=12 y2=8 .

[churchill]

Was habt ihr beim 3.a) ? Ich kriege x1=4 y1= 4 x2=12 y2=8 .

Ich weiß mein Ergebnis nicht mehr auswendig aber die zahl klingen gut

[]af[]

Was habt ihr beim 3.a) ? Ich kriege x1=4 y1= 4 x2=12 y2=8 .

hatte ich auch

[sebbyblaze]

Nun beim 4 e) ... Wie verwendet man den Homorphiesatz?
Homorphismen sind alle 4 möglichen Abbildungen von Z2 nach Z2. oder?

[fuersti]

meine Lösung für Beispiel 2

zuerst berechnen wir die Eigenwerte indem wir folgendes berechnen:


davon berechnen wir jetzt die Determinante

diesen Ausdruck setzen wir 0, da ein Skalar genau dann ein Eigenwert von A ist, wenn ist.

Durch das Lösen der Gleichung mit Hilfe der Formel zur Lösung quadratischer Gleichungen kommen wir auf die Eigenwerte


Eigenvektoren:
dafür lösen wir die Gleichung

für


=>
alle Eigenvektoren sind skalare Vielfache des Vektors (4, 3) und bilden daher einen Unterraum im

für


=>
alle Eigenvektoren sind skalare Vielfache des Vektors (-3, 4) und bilden daher einen Unterraum im

und nun sollen wir noch zeigen, dass zwei Eigenvektoren von A, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, zueinander orthogonal sind (Anm. Vektoren x, y sind orthogonal, wenn das Skalarprodukt 0 ist).

Es seien zwei Eigenvektoren von A zu verschiedenen Eigenwerten . Dann gilt:




und damit

und damit ist und orthogonal

in unserem Beispiel
wär das (4, 3) * (-3, 4) = -12 + 12 = 0 => Eigenvektoren sind orthogonal

[fuersti]

meine Lösung für 1.

Induktionsanfang:
n = 1


=> passt

Induktionsbehauptung


jetzt nehmen wir das n+1 Element aus der Summe heraus und erhalten


nun setzen wir die Induktionsvoraussetzung (=Angabe) ein und erhalten


auflösen des Doppelbruchs und Subtraktion von 3/2 ergibt


aufgrund der Definition der Fakultät wissen wir, dass und setzen das ein


wir kürzen n! im zweiten Term und erweitern den ersten und Term mit (n+1) und den dritten Termin mit (n+3) und dividieren dann alle drei Terme duch (n+1)(n+2)(n+3)



Q.E.D.

[fuersti]

meine Lösung für 5.

Wie viele Kanten besitzt ein Baum mit 5 Knoten?
( ) 3
(x) 4
( ) 5
( ) 6

Welche Bedingung(en) ist(sind) notwendig, damit ein gerichteter Graph G eine geschlossene Euler'sche Linie besitzt?
( ) G planar
(x)
(x) G schwach zusammenhängend
( ) G besitzt eine Hamilton'sche Linie

Wofür sind die Adjanzenzmatrix A(G) eines Graphen sowie die Potenzen A(G)^n nützlich?
(x) um die Knotengrade zu bestimmen
(x) um festzustellen, ob es eine Kantenfolge von einem Knoten vi, zu einem Knoten vj gibt.

Ein zusammenhängender planarer Graph G besitzt 4 Knoten und 5 Kanten. In wie viele Gebiete zerfällt die Ebene, wenn die Kanten von G entfernt werden?
( ) 1
( ) 2
(x) 3 (Euler'sche Polyederformel Knotenanzahl + Gebietsanzahl - Kantenanzahl = 2)
( ) 4
( ) es gibt keinen planaren Graphen mit 4 Knoten und 5 Kanten

Besitzt K5, also der vollständige Graph mit 5 Knoten eine planare Darstellung?
( ) ja
(x) Nein (Satz von Kuratowski)

Wozu dient der Dijkstra Algorithmus?
( ) zum Bestimmen einer Hamilton'schen Linie in einem Graphen
( ) zum Bestimmen eines minimalen spannenden Baumes in einem Netzwerk
(x) zum Bestimmen des Entfernungsbaumes bzgl. eines Knoten in einem Netzwerk
(x) zum Bestimmen des kürzesten Weges zwischen zwei Knoten in einem Netzwerk

Welche Bedingung(en) ist(sind) für das erfolgreiche Anwenden des Dijkstra-Algorithmus wesentlich?
(x) Kantengewichte dürfen nicht negativ sein
( ) Graph muss kreisfrei sein
( ) Graph muss hamiltonsch sein

Welche Bedingung(en) ist(sind) für das erfolgreiche Anwenden des Kruskal-Algorithmus wesentlich?
(x) Graph muss zusammenhängend sein
( ) Graph darf keine Mehrfachkanten enthalten

[_ursus_]

Noten sind da!

Wie geil ist das denn: 3

[sebbyblaze]

Noten sind da!

Wie geil ist das denn: 3

Wo sind die gepostet?

[_ursus_]

Wo sind die gepostet?

in den Zeugnissen... Ich habe die Mathe I Prüfung gemacht, vielleicht dauert Algebra noch etwas.

[Huggy]

Also meine Algebra Ergebnisse sind da. Und nochmal, weils so schön war. :-(

[tom02491]

Die Punkteanzahl kann man aber nirgens einsehen - außer in der Einsichtnahme, oder?

[fuersti]

@tom02491
jep, die Punkteanzahl gibts bei der Einsichtnahme

[DarkInferno]

@tom02491
jep, die Punkteanzahl gibts bei der Einsichtnahme

Oder per Mail erfragen

[Lichtamberg]

Weiß jetzt jemand die Lösung von den Homomorphismen? Oder einen Ansatz?

[emptyvi]

meine Lösung für 5.
Welche Bedingung(en) ist(sind) für das erfolgreiche Anwenden des Kruskal-Algorithmus wesentlich?
(x) Graph muss zusammenhängend sein
( ) Graph darf keine Mehrfachkanten enthalten

Warum muss der Graph zusammenhängend sein, wenn der Kruskal-Algorithmus ein minimales Gerüst (nicht minimal spannenden Baum) bestimmt?

l.g. ^^

P.S.: Ah.. und btw., woher kommen denn das ganze "Graph ist planar" und "In wieviele Gebiete zerfällt..."? Das steht bei mir nedmal im Buch, oder hab ichs überlesen?

[1student]

Warum muss der Graph zusammenhängend sein, wenn der Kruskal-Algorithmus ein minimales Gerüst (nicht minimal spannenden Baum) bestimmt?

Die Anzahl der erreichten Kanten muss immer der Anzahl der Knoten minus 1 entsprechen, und das kann nur der Fall sein, wenn der Graph zusammenhängend ist, denke ich

P.S.: Ah.. und btw., woher kommen denn das ganze "Graph ist planar" und "In wieviele Gebiete zerfällt..."? Das steht bei mir nedmal im Buch, oder hab ichs überlesen?

Das kommt von der Euler'schen Polyederformel, siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Planarer_Graph

[emptyvi]

Die Anzahl der erreichten Kanten muss immer der Anzahl der Knoten minus 1 entsprechen, und das kann nur der Fall sein, wenn der Graph zusammenhängend ist, denke ich



Das kommt von der Euler'schen Polyederformel, siehe auch: http://de.wikipedia.org/wiki/Planarer_Graph

Der Algorithmus bricht dann nur früher ab. Die zweite Bedingung (verknüpft durch oder) ist, dass man einmal alle Kanten abgeklappert hat.

Zur eulerschen Polyederformel: Wtf? Das kommt nicht im Buch vor? Sind das die "kleinen Ergänzungen" beim angegebenen Stoffgebiet?

l.g ^^

[fuersti]

@Ergänzungen Stoffgebiet: jep (hab mich damals im Buch auch deppat gesucht)
@Kruskal: naja, wenn der Graph net zusammenhängend ist, bestimmts ja nur einen Minimum Spannung Tree für jede Zusammenhangskomponente des Graphen - do you want that? no => muss zusammenhängend sein

lg vom ar*** der Welt
(gott, es ist schon wieder finster @ 13:30 )

[emptyvi]

@Ergänzungen Stoffgebiet: jep (hab mich damals im Buch auch deppat gesucht)
@Kruskal: naja, wenn der Graph net zusammenhängend ist, bestimmts ja nur einen Minimum Spannung Tree für jede Zusammenhangskomponente des Graphen - do you want that? no => muss zusammenhängend sein

lg vom ar*** der Welt
(gott, es ist schon wieder finster @ 13:30 )

@Kruskal:

Definition laut Buch für ein Gerüst:

Ein Gerüst oder spannender Wald W eines schlichten ungerichteten Graphen G ist ein Wald mit V(W) = V(G) und E(W) ⊂ E(G) und denselben Zusammenhangskomponenten wie G, d.h., schränkt man W auf eine Zusammenhangskomponente K von G ein, so ist diese Einschränkung ein spannender Baum von K.

Und der Kruskal-Algorithmus bestimmt laut Buch (und laut Hirn ) ein solches Gerüst. Also kann der Graph auch nicht zusammenhängend sein (aus einem zusammenhängendem Graphen können nur spannende Bäume entstehen).

@Ergängzung Stoffgebiet: Rate mal, was heute zum Test kam..

Liebe Grüße an den Ar***** der Welt

emptyvi

[fuersti]

so back @ civilization ...

also mMn ist die Bedingung, dass der Graph zusammenhängend sein muss, dafür dar, um sicherzustellen, dass das Ergebnis ein Minimum Spanning Tree (sagt mir auch meine Erinnerung, Buch habe ich grad nicht zur Hand) ist.
Ist der Graph nicht zusammenhängend, so stellt er nur sicher, dass ein Minimum Spanning Forest, gefunden wird.

=> grundsätzliches Ziel ist also einen MST zu finden: kreuz einfach "zusammenhängend, gewichtet und ungerichtet an" ... oookkk?

[emptyvi]

so back @ civilization ...

also mMn ist die Bedingung, dass der Graph zusammenhängend sein muss, dafür dar, um sicherzustellen, dass das Ergebnis ein Minimum Spanning Tree (sagt mir auch meine Erinnerung, Buch habe ich grad nicht zur Hand) ist.
Ist der Graph nicht zusammenhängend, so stellt er nur sicher, dass ein Minimum Spanning Forest, gefunden wird.

=> grundsätzliches Ziel ist also einen MST zu finden: kreuz einfach "zusammenhängend, gewichtet und ungerichtet an" ... oookkk?

Nein, es soll ein "Minimum Spanning Forest" (aka "Gerüst") gefunden werden.

Ist |E'| = |V| - 1 oder j = m, so wird der Algorithmus beendet und W = (V,E') ist ein minimales Gerüst von G.[..]

Das grundsätzliche Ziel ist es ein Gerüst zu finden, keinen Spannbaum.

Wendet man den Algorithmus auf unzusammenhängende Graphen an, so berechnet er für jede Zusammenhangskomponente des Graphen einen minimalen Spannbaum. Diese Bäume bilden einen minimalen aufspannenden Wald.

Ich würde daher "zusammenhängend" unter keinen Umständen ankreuzen. Aber nachdem ich inzwischen mein Testergebnis schon habe, und es positiv ist, interessiert mich daus auch nicht mehr.

Liebe Grüße

emptyvi

[itachi]

Irgendjemand noch hier, der sich mit dem Differenzengl Beispiel beschäftigt. Glaub ich hab es gelöst. Eigentlich ist es nicht so schwer, wenn ma sich es durchdenkt. Aber das als Prüfungsbeispiel ist ein Witz einfach nur. Ich wär in der Prüfungssituation unter Stress nie im Leben draufgekommen.
Jedenfalls: ( a) wurde ja oben schon gelöst), ich fass da mal alles zusammen:

Wir wissen ja aufgrund der assoziativität(?) folgendes:

Damit haben wir ja sofort
Damit bekommen wir das folgende System von Differenzengleichungen:

Und ja ok er hat sich ein wenig im Tonfall vergriffen, aber (sofern ich keinen Fehler gemacht hab) ist wirklich trivial zu lösen.
Wenn wir jetzt die Differenzengleichung wie gewohnt für y_n aufstellen kommt folgendes:

Wir kennen ja x0 und y0, daher kommt bei yn folgendes raus:
. Jetzt können wir das in x_n einsetzen und sehen, dass x_n eine lineare inhomogene Differenzengleichung 1. Ordnung mit konstantem Koeffizient a und einer Störfunktion von der Form:
ist. Sprich in unserem Fall:

Wenn wir uns jetzt xn+1 anschauen können wir den homogenen Teil der Gleichung recht einach lösen:

Hier bin ich mir nicht genau sicher wie es weitergeht. Ich hab ja schon explizit gegeben.
Aber sagen wir, wir setzen x0 auf C, folgt schließlich

Hier hab ich probiert mit dem unbestimmten Ansatz die partikuläre Lösung zu finden, aber das funktioniert scheinbar nicht weil wir den Resonanzfall haben, und uns das nichts nützt mit n zu multiplizieren, weil das Rekursiv immer wieder zurück auf führt, was ja teil der homogenen Lösung ist.
Daher zähneknirschend Variation der Konstante:

Jetzt bin ich mir nicht sicher was ich für C0 zum lösen der Gleichung einsetze(x0 ..oder setz ich einfach C0 auf 0).
Angenommen ich setze es auf 0:
doofe summe

Das kann man mit den üblichen Tricks zu:
umformen.
Jetzt in einsetzen und wir bekommen


So, oder so ähnlich sollte das sein. Leider bin ich mir nicht sicher bei allen Schritten. Hoffe, jemand kann hier noch input geben.

[Nechtan]

Hey!

Ich hab grad versucht das Bsp zu lösen, und hab mich gefragt ob du beim einsetzen der Partikulärlösung in nicht übersehen hast den ersten Term auf der rechten Seite mit 2 zu multiplizieren.
Du hast ja:

Keine Ahnung ob es dann richtiger oder weniger richtig ist.
Ich habs mal so durchgerechnet und komme dann auf:

Wobei C der Anfangswert ist, also .

Edit: Ich glaube die Kommentare in Klammern in der Anleitung waren als Hilfe gedacht. So auf die Art "Wenn du eine komplizierte Differenzengleichung kriegst bist du auf dem falschen Weg, versuch es lieber anders."

[steppenhahn]

ich glaub ich habs.

bis hier hin hab ich's auch so:
und

dann

jetzt variation der konstanten:



einsetzten in inhomogene gleichung:




umformen


durch dividieren



mit ergibt sich




einsetzten:

und jetzt homogene plus partikuläre lösung addieren





herausheben



jetzt wieder durch ersetzten und fertig:


und

kurz probe gemacht:



stimmt für auch, also nehm ich an, dass es richtig ist...


ohne euren input oben hätt ich's nicht 'zammgebracht.
und bei einer prüfung wär sich das zeitlich bei mir nieeeemals ausgegangen...aber jetzt vielleicht schon :P

thx an euch !