Prüfungsbeispiel Nr.2 vom 14.03.03

[absolut]

Hi!

Ich glaub ich steh irgendwie auf der Leitung...

Beweis durch vollständige Induktion:
(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)...(1+x^2^n) = (1-x^2^(n+1))/(1-x)

Irgendwie komm ich nicht drauf. Könnte bitte wer den richtigen Ansatz posten?

Meiner geht so:
das was zur linken Seite dazukommt:
(1+x^2^n)*(1+x^2^(n+1))

d.h.
(1-x^2^(n+1))/(1-x) + (1+x^2^n)*(1+x^2^(n+1)) = (1-x^2^(n+2))/(1-x)

stimmts soweit oder kann ich einfach nur nicht richtig rechnen?

lg

[Georg Kraml]

Wir nehmen an, dass
Produkt über alle k = 1...2^n von (1+x^k) = (1-x^n^(n+1)) / (1-x).

Daraus folgt:
Produkt über alle k = 1...2^(n+1) von (1+x^k)
= [ Produkt über alle k = 1...2^n von (1+x^k) ] * [ 1+x^2^(n+1) ]
= [ (1-x^2^(n+1)) / (1-x) ) * [ 1+x^2^(n+1) ]
= (1-x^2^(n+1)) * (1+x^2^(n+1)) / (1-x)
= [ 1*1 - x^2^(n+1) + x^2^(n+1) - x^2^(n+1)*x^2^(n+1) ] / (1-x)
= [ 1 - x^2^(n+2) ] / (1-x)

Voila, gewonnen. Ich hoff, ich hab mich in der Wurst nicht irgendwo vertippt.

/edit: Natürlich hab ich mich vertippt... mehrfach. Naja, behoben.

[absolut]

jetzt is alles klar (hab * mit + vertauscht)
danke ;-)

[Georg Kraml]

Mach dir nix draus, hab ich zuerst auch verwechselt. :shinner: