480b

[Unic0der]

480b)

Das Teil ist ja noch fürchterlicher als das 380a *help*! Folgende Fragen hätte ich hier:

1) Ganz grundlegend: Was bedeutet mal EEF. Wo liegt der Unterschied zur "normalen" erzeugenden Funktion. Was muss ich beachten?

2) Wieso weiß ich dass bei dem Beispiel die Variation gefragt ist?

3) Bezüglich: Summe k=0 bis unendl. ( (x^2k)/(2k!) ) * Summe ... usw.
- In welche Formel wird hier bitte die Angabe eingesetzt? Hab nix passendes im Buch gefunden. Bitte um genau Erklärung...

4) Bezüglich berechnen der EEF:
- Mir ist nicht ganz klar, wie man von (1/2) * Summe k=0 bis unendl. * x^k/k! plötzlich auf e^-x/2 + e^x/2 kommt. Was passiert da dazwischen? Wo wurde eingesetzt. Wo kommt das e her?

[wolti]

1)
EEF. Steht für exponentiell erzeugende Funktion. Wenn du eine EEF hast,
z.B. A(x) so erzeugt diese eine Folge <a_{n}>, wobei für die Folgen-
glieder folgendes gilt:

(n)
a_{n} = A (x=0) <-> Sprich die n-te Ableitung der Funktion an der
Stelle x = 0.

Wir haben also hier folgende Situtation vorliegen.

___ inf
\ x^n R>0
<a_{n}> <---> ) a_{n} * --- <---> A(x)
1:1 /__ n! 1:1
n=0

Ändern tun sich ein paar Sachen. Das normale CAUCHY-Produkt
funktioniert hier nicht mehr so. Für das Rechnen gilt folgendes.
Sei im weiteren:
___ inf ___ inf
\ x^r \ x^s
A(x) = ) a_{r}*--- B(x) = ) b_{s}*---
/__ r! /__ s!
r=0 s=0
___ inf
\ x^n
A(x)+B(x) = ) (a_{n} + b_{n}) * ---
/__ n!
n=0

___ inf ___ inf
\ x^r \ x^s
A(x)*B(x) = ) a_{r}*--- * ) b_{s}*---
/__ r! /__ s!
r=0 s=0

___ inf ___
\ \
= ) x^n * ) a_{r}*b_{s}*-----
/__ /__ r!*s!
n=0 r+s=n

___ inf ___
\ x^n \ n!
= ) --- * ) a_{r}*b_{s}*-----
/__ n! /__ r!*s!
n=0 r+s=n

___ inf ___ n
\ x^n \ n!
= ) --- * ) a_{r}*b_{n-r}*---------
/__ n! /__ r!*(n-r)!
n=0 r=0

___ inf ___ n
\ x^n \ / n \
= ) --- * ) | | a_{r}*b_{n-r}
/__ n! /__\ r /
n=0 r=0

Das Produkt funktioniert hier also schon einmal komplett anders.

2)
Wenn du eine geordnete Auswahl haben willst, dann sind die Variatione
das richtige. Ich bringe dazu gleich einmal ein paar einfache
Beispiele.

Nehmen wir an, du hast 2 Ottakringer und 1 Mohrenbräu. Wieviele
Möglichkeiten gibt es diese auf deinem Bett anzuordnen.

EF für Ottakringer:

x^2 x
O(x) = --- M(x) = ---
2! 1!

x^3
O(x)*M(x) = ---
2!

Wieder erhalten wir über den Koeffizienten die Anzahl der Variationen
zur k-ten Klasse. Rechnen wir nun den Koeffizienten z.B. von
3
[x ] aus bekommen wir: 3, und das stimmt.


<OOM>, <OMO>, <MOO> anders kannst sie nicht aufstellen.

3) Das hat der hal eh so markiert. eine gerade Zahl von 0, d.h. wir
möchten:

/ x^0 x^2 \
( --- + --- + .... )
\ 0! 2! /

Das ist genau die Summe wo du angesprochen hast. Schaut gleich aus
wie bei den Kombinationen, nur durch die Fakultäten.

4)
___ inf ___ inf
\ 1 x^k 1 \ x^k
) - * --- = --- * ) 1 * ---
/__ 2 k! 2 /__ k!
k=0 k=0

jetzt suchen wir einen Funktion, die die konstante Folge 1 erzeugt,
das ist klarerweise e^x (für EEF)

das machst beim zweiten auch so, nur dort ist es dann halt e^(-x)


Grüße,
Wolti

[Unic0der]

Nehmen wir an, du hast 2 Ottakringer und 1 Mohrenbräu. Wieviele
Möglichkeiten gibt es diese auf deinem Bett anzuordnen.


Grüße,
Wolti

Genial *hehe*.

Ich glaub jetzt hab ichs verstanden. Danke für die super Antwort !!! :)

[lEn00x]

bei HAL's ausarbeitung zu bsp. 480b hebt er bei (1) und (2) auf folgende weise heraus:

x^(2k)/(2k)! => ((-1)^k/2 + 1/2)*x^k/k!

Irgendwie verstehe ich nicht, wie man darauf kommt.

[hal]

bei HAL's ausarbeitung zu bsp. 480b hebt er bei (1) und (2) auf folgende weise heraus:

x^(2k)/(2k)! => ((-1)^k/2 + 1/2)*x^k/k!

Irgendwie verstehe ich nicht, wie man darauf kommt.

Das ist nicht herausgehoben, sondern eine andere Art, es hinzuschreiben.
x^2k ergibt x^0+x^2+x^4+...
((-1)^k/2 + 1/2) ist (wie angemerkt) eine Folge, die <1,0,1,0,1,0,1,0,...> ergibt, d.h. sie ergibt 1*x^0+0*x^1+1*x^2+0*x^3+1*x^4+..., was wiederrum das gleiche wie bei der anderen ist.

[Sensei]

Frage: hal nimmt beim letzten Summe (k=0 bis 5) ... in der Angabe steht was von "höchstens 5 mal 2". Wie würde das aussehen, wenn hier stehen würde genau 5 mal 2 oder mindestens 5 mal 2. Würde dann die summe von 5 bis 5 (also konstant) bzw. von 5 bis unendl. laufen?
thx für bestätiugung oder dementi!

cu

[hal]

Frage: hal nimmt beim letzten Summe (k=0 bis 5) ... in der Angabe steht was von "höchstens 5 mal 2". Wie würde das aussehen, wenn hier stehen würde genau 5 mal 2 oder mindestens 5 mal 2. Würde dann die summe von 5 bis 5 (also konstant) bzw. von 5 bis unendl. laufen?

x^5 => genau 5 mal
x^5 bis x^inf => mind. 5 mal

[Noride]

hmm ich hätt da ein paar ideen wie man die Summenformeln anders anschreiben könnte

1 ist ja nix anderes als die Reihenentwicklung von cosh(x)
2 ist ja nix anderes als die Reihenentwicklung von sinh(x)
3 ist die Reihenentwicklung von e^x abgebrochen bei n=5. ist zwar ein ziemlich schlecht annäherung, da erst ab n=8 gute näherung

das würd das ausmultiplizieren ersparen da das so schon passt oder.

was meint ihr?