Bsp: 453

[Schof]

Hi, hier meine Lösung zu diesem Bsp:
S=Summe
w=n-k
Ich deute die Summe auf der rechten Seite als Summe{(k=0 bis n) an*bn}
und die linke Seite der Gleichung als cn.

an=ncr(x,k) dessen EF ist A(z) = S{(k=0 bis x)ncr(x,k)*z^k} = (1+z)^x

bn=ncr(y,w) dessen EF ist B(z) = S{(k=0 bis y)ncr(x,w)*z^k} = (1+z)^y

cn=ncr(x+y,n) dessen EF ist C(z) = S{(k=0 bis x+y)ncr(x+y,n)*z^n} = (1+z)^x+y

dann bekomme ich folgende Gleichung:

linke Seite:
S{(n=0 bis x+y) ncr(x+y,n)*z^n}

rechte Seite:
S{(k=0 bis n) (S{(k=0 bis y) ncr(x,w)*z^k}*S{(k=0 bis x+y) ncr(x+y,n)*z^n) =
S{(k=0 bis n) (S{(k=0 bis x+y) ncr(x+y,n)*z^n) wegen (1+z)^x*(1+z)^y=(1+z)^x+y
Das Summationszeichen am Anfang S{(k=0 bis n)} ist unerheblich und kann weggelassen werden, da in der restlichen Summe keine k mehr auftreten. Daraus folgt:
S{(k=0 bis x+y) ncr(x+y,n)*z^n
Rechte Seite = Linke Seite q.e.d
ciao
Schof