View Full Version : [Frage] Ausarbeitung 10.4.03
thx 2 wolti, ohne ihn hätt ich bsp 465 nie geschafft
edit: jetzt ist alles dokumentiert, inhaltliche Änderungen gibt es keine
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Ich befürchte, ich bin echt blank bei den Rechnungen... den ganzen Nachmittag sitz ich schon und es hat noch nichts rausgeschaut :(
Mein Problem ist vorallem, dass ich nichtmal weiß, wie man mit diesen Summen rechenen muss... wann kann man was rausheben? Wann mach ich aus einem Summenzeichen zwei und warum und wie??? Und wann kann ich sie zerteilen???? Wie multipliziere ich diesen ganzen Kas?????????
Woher wisst ihr das, wo steht das?? Bin schon echt sauer, denn ich müsst dringend Technische Inf lernen und ohne Beispiele zum Baron gehn trau ich mich nicht .... *argh*
Ich befürchte, ich bin echt blank bei den Rechnungen... den ganzen Nachmittag sitz ich schon und es hat noch nichts rausgeschaut :(
Mein Problem ist vorallem, dass ich nichtmal weiß, wie man mit diesen Summen rechenen muss... wann kann man was rausheben? Wann mach ich aus einem Summenzeichen zwei und warum und wie??? Und wann kann ich sie zerteilen???? Wie multipliziere ich diesen ganzen Kas?????????
Woher wisst ihr das, wo steht das?? Bin schon echt sauer, denn ich müsst dringend Technische Inf lernen und ohne Beispiele zum Baron gehn trau ich mich nicht .... *argh*
Hallo,
Ich probiere mal ein paar Sachen zu erklären:
1) Herrausheben:
Man darf aus einer Summe etwas herrausheben, wenn dies ein
konstanter Faktor ist.
Bsp:
___ inf ___ inf
\ / n \ \ / n \
) | | y^n * y^k = y^n * ) | | * x^k
/__ \ k / /__ \ k /
k=0 k=0
Warum: y^n ist konstant. Wenn du eine normale Summe hast,
z.B:
y^3 + y^2 + y^(k+1) kannst ja auch schreiben:
y*(y^2 + y^1) + y^(k)
2) Multiplizieren:
Naja, das ganze funktioniert auf diesem Prinzip. Wir moechten
immer etwas in der Form haben:
___ inf
\
) a_{k} * x^k
/__
k=0
Wir möchten also nicht, dass in unserem a_{k} noch irgendwelche
Potenzen von x vorkommen, da wir sonst so sachen wie den Koeff-
izienten und so nicht berechnen können. Nehmen wir mal ein
typisches unangenehmes Beispiel:
___ inf ___ inf
\ \
) a_{k}*x^(2k - 5) * ) b_{l}*x^l
/__ /__
k=0 l=0
Okay. Wir können es uns auch so vorstellen. Wir bilden das
Produkt und möchten es wieder nach Potenzen geordnet haben. Wenn
du dir das an einem einfachen Beispiel anschaust:
(a_0*x^2 * a_1*x^4) * (b_0*x + b_1*x^3)
Das ergibt ja wenn wir es normal rechnen:
a_0*b_0*x^3 + a_0*b_1*x^5 + a_1*b_0*x^5 + a_1*b_1*x^7
= a_0*b_0*x^3 + (a_0*b_1 + a_1*b_0)*x^5 + a_1*b_1*x^7
Wir fassen also alle Terme zusammen bei denen die Koeffizienten
addiert den gleichen Wert ergeben (2+3 ist 5 und 4 + 1 ist auch
5). Übertragen wir das auf unser Produkt.
Exponent 1: (2k-5)
Exponent 2: l
wir fordern: n = 2k-5+l
___ inf ___
\ \
) ) a_{k}*x^(2k - 5)*b_{l}*x^l
/__ /__
n=0 n = 2k-5+l
___ inf ___
\ \
) ) a_{k}*b_{l}*x^(2k - 5 + l)
/__ /__
n=0 n = 2k-5+l
2k - 5 + l = n !!!
___ inf ___
\ \
) ) a_{k}*b_{l}*x^n
/__ /__
n=0 n = 2k-5+l
x^n hängt nicht von der inneren Summe ab, rausziehen:
___ inf ___
\ \
) x^n ) a_{k}*b_{l}
/__ /__
n=0 n = 2k-5+l
So, jetzt kannst es auch noch umfornen. Sagen wir wir möchten
von l=0 starten.
Dann muss k sein:
n - l + 5
k = -----------, damit das noch stimmt (unsere Bedienung)
2
___ inf ___ n
\ \
) x^n ) a_{(n-l+5)/2}*b_{l}
/__ /__
n=0 l = 0
Ist jetzt kein schönes beispiel, weil man hier aufpassen muss,
dass (n-l+5)/2 eine ganze Zahl ist.
3) Zerlegen von Summen:
Ist eine Gefühlssache. Du brauchst immer eine Idee um diese
tollen Beispiele zu lösen. 470 habe ich so gelöst, dass ich
geraten habe was es sein könnte und das ganze dann bewiesen
habe, weil dort viele Sachen drinnen sind wo man nicht
genau argumentieren kann.
z.B. in Hals Lösung:
Warum zerlegt man die Summe so ? Wenn du es rückwärts rechnest
stimmt es schon.
--> Defakto brauchst eine Idee für die Lösung und dann
probierst ein bisschen.
Grüße,
wolti
PS: Hoffe ich hab mich nirgendswo verrechnet oder so.
Unic0der
09-04-2003, 18:46
Ich müsst auch noch technische Info lernen - hab aber auch noch grobe Probleme mit dem verstehen der Mathebeispiele ... *verdammt* :(
Scheint als ob das heut bei mir auch wieder eine kurze Nacht wird (so wie auch schon gestern und vorgestern ;) ).
@hal:
Könntest du deine Ausarbeitung wennst heute *bitte* noch Zeit hast auf deiner Ausarbeitung so kommentieren dass ein Durchschnittsmathematiker (der zur Zeit gestresst und müde ist) auch was davon versteht???
Ciao, OSX
Könntest du deine Ausarbeitung wennst heute *bitte* noch Zeit hast auf deiner Ausarbeitung so kommentieren dass ein Durchschnittsmathematiker (der zur Zeit gestresst und müde ist) auch was davon versteht???
Habs jetzt alles dokumentiert, für Fragen steh ich (und ich nehm an/hoffe, der wolti auch :) ) nat. weiterhin zur Verfügung, wenn es sich zeitlich ausgeht.
zu 470)
nur eine ganz kurze frage :)
ganz am schluss, wo aus A[x]Bruch-A[x] A[x]*Bruch wird.
Ist dieses '*' wieder einmal eine Operation die spurlos an mir vorbeigegangen ist, oder soll das die ganz normale multipliaktion sein? Und wenn, was ist dann mit dem -A[x] passiert? ;)
danke schon mal, sollte jemand trotzt TI Zeit für mich finden :D
PS:Kann sein, dass die EF nicht mehr im band 2 behandelt werden?
s
@ hal und wolti
DANKE
Ich weiß nicht, wie ich diese ganze Tortur beim Baron ohne eure tolle Unterstützung (durchgerechnete Beispiele, zusätzliche Erklärungen, ...) jemals schaffen sollte. Das Verstehen von euren durchgerechneten Sachen schaff ich grad noch, alles Andere ist mir einfach zu hoch....
DANKE ihr seids echt super Kollegen :)
:thumb:
@ hal und wolti
DANKE
Ich weiß nicht, wie ich diese ganze Tortur beim Baron ohne eure tolle Unterstützung (durchgerechnete Beispiele, zusätzliche Erklärungen, ...) jemals schaffen sollte. Das Verstehen von euren durchgerechneten Sachen schaff ich grad noch, alles Andere ist mir einfach zu hoch....
DANKE ihr seids echt super Kollegen :)
:thumb:
da kann man sich nur anschließen... :applaus:
ganz am schluss, wo aus A[x]Bruch-A[x] A[x]*Bruch wird.
Ist dieses '*' wieder einmal eine Operation die spurlos an mir vorbeigegangen ist, oder soll das die ganz normale multipliaktion sein? Und wenn, was ist dann mit dem -A[x] passiert? ;)
das is ne multiplikation :D
A*1/(1-x)-A=A/(1-x)-(1-x)A/(1-x)=(A-(1-x)A)/(1-x)=(A-A+A*x)/(1-x)=A*x/(1-x)
PS:Kann sein, dass die EF nicht mehr im band 2 behandelt werden?
yep -> band 3
wahh, sorry, aber ich hab noch eine Frage zu 470... :confused:
nämlich:
das Cauchyprodukt für Potenzreihen (und sowas haben wir hier doch, oder?)
Ist: sum(an*x^n,n=0,inf)*sum(bn*x^n,n=0,inf)= sum(sum(ak*bl),k+l=n),n=0,inf)
auf jeden Fall hat das x auf beiden Seiten die gleiche Potenz, und es kommt auch im Produkt nur 1 mal vor.
D.h. wir brauchen (so wie ich das verstanden habe) in unserem Ausdruck sum(sum(ak*x^n)) nicht ein x^irgendwas, sondern dieses bl?
oder?
jetzt kann ich sagen bl ist eins... dann kann ich das einfach hinschreiben, und dann genauso das Cauchyprodukt auflösen, und wenn ich bl wieder durch 1 ersetze komme ich auch wieder auf deinen Ausdruck...
hab ich mich halbwegs verstädnlich ausgedrückt? ;)
lg
sebi
das is ne multiplikation :D
A*1/(1-x)-A=A/(1-x)-(1-x)A/(1-x)=(A-(1-x)A)/(1-x)=(A-A+A*x)/(1-x)=A*x/(1-x)
oh gott, es wird zeit fürs bett, oder besser noch fürs altersheim...
ich habe nicht gesehen dass einmal ein einser und einmal ein x im Zähler steht....
:rolleyes:
@ sebi 470 Cauchy Produkt
Ich glaube, die Indizes sind falsch (bzw verwirrend) in hals paper.... das ist die Summe (n=0 bis oo) von der Summe *n*= s+t [anstatt k=s+t] und in weiterer Folge innerhalb der Summe dann a_*s* [statt a_k]
oder? Viel Freude noch mit Mathe heut abend :shinner: ... nur das eine noch und ich bin in der Heia
Unic0der
09-04-2003, 22:11
@hal:
Summe (0 -> unendlich) von "Danke" :applaus:
Ich glaube, die Indizes sind falsch (bzw verwirrend) in hals paper.... das ist die Summe (n=0 bis oo) von der Summe *n*= s+t [anstatt k=s+t] und in weiterer Folge innerhalb der Summe dann a_*s* [statt a_k]
hm... verwirrend vielleicht, aber falsch wage ich zu bezweifeln, zumindest seh ich keinen fehler
nein, was ich meine ist, dass du da die x aufsplittest, die jedoch in der Cauchy-Formel (u.a. Band 2, S174) nur 1 mal vorkommen.
Und zwar in der summe nach der Multiplikation und in den beiden Summen davor mit der selben Potzenz.
Im Gegensatz zu den beiden Folgen der Reihen. von denen ändert sich der index. Aber an dem unbestimmten Elemtn ändert sich doch nichts.
ich brauche, wenn ich auf ein Cuachyprodukt aufapalten will, nicht 2 x^k sondern 2 Folgen mit dem Index k und einmal n-k.
und nicht 2 Unbekannte mit den Potenzen. So weit ich das halt verstanden habe...
lg und gute nacht
sebi
nein, was ich meine ist, dass du da die x aufsplittest, die jedoch in der Cauchy-Formel (u.a. Band 2, S174) nur 1 mal vorkommen.
Und zwar in der summe nach der Multiplikation und in den beiden Summen davor mit der selben Potzenz.
Im Gegensatz zu den beiden Folgen der Reihen. von denen ändert sich der index. Aber an dem unbestimmten Elemtn ändert sich doch nichts.
ich brauche, wenn ich auf ein Cuachyprodukt aufapalten will, nicht 2 x^k sondern 2 Folgen mit dem Index k und einmal n-k.
und nicht 2 Unbekannte mit den Potenzen. So weit ich das halt verstanden habe...
Ja so stehts im Buch, aber in der Vorlesung hat unser lieber Hr. Prof 3 äquivalente Formeln aufgeschrieben, und das ist eine davon, die die du meinst eine andere.
hm, ok,
danke nochmal...
sebi
nein, was ich meine ist, dass du da die x aufsplittest, die jedoch in der Cauchy-Formel (u.a. Band 2, S174) nur 1 mal vorkommen.
Und zwar in der summe nach der Multiplikation und in den beiden Summen davor mit der selben Potzenz.
Im Gegensatz zu den beiden Folgen der Reihen. von denen ändert sich der index. Aber an dem unbestimmten Elemtn ändert sich doch nichts.
ich brauche, wenn ich auf ein Cuachyprodukt aufapalten will, nicht 2 x^k sondern 2 Folgen mit dem Index k und einmal n-k.
und nicht 2 Unbekannte mit den Potenzen. So weit ich das halt verstanden habe...
lg und gute nacht
sebi
Hallo,
Ich möchte hier auch was dazu beitragen.. Deine Argumentation ist so nicht richtig. Natürlich rührt das fertig x^n daraus, da du die Vorderung setzt, dass beide Exponenten gleich sind. Dann heben Sie sich zusammen und du darfst sie daher vor die Summe ziehen. Diese Formel ist ja nicht gottgegeben, sondern wenn man sie herleitet, sieht man natürlich, dass ursprünglich zwei Potenzen von x^irgendwas drinnenwaren.
Grüße,
wolti
Unic0der
10-04-2003, 00:22
Soda, folgende 3 Unklarheiten (dummerweise in 3 verschiedenen Beispielen :( ) gibt es leider noch bei mir, dann würd ich mich so halbwegs auskennen.
ad Beispiel 453
---------------------
Ich habe da ja in der vorletzten Zeile von hal's Ausarbeitung ...
Summe (n=0 bis x+y) [ Summe (k=0 bis n) von (x über k) * (y über n-k) * z^n ]
und in der letzen Zeile dann plötzlich nur mehr:
Summe (k=0 bis n) von (x über k) * (y über n-k) * z^n
???) Mich würde jetzt interessieren wieso man die äußere Summe plötzlich wegfallen lassen kann bzw. welche Schritte da noch evtl. dazwischen sind ...
ad Beispiel 465
---------------------
Wieder gehts mal um die vorletze und letze zeile des Bsp. Diesmal versteh ich nicht wie da das 2^k weggekürzt wird.
Vorletzte Zeile: [ (-1)*(-3)*(-5)*.....*(1-2k) ] / (2^k*k!)
letze Zeile: [ (-1/2)*((-1/2) - 1)*((-1/2) - 2)*.....*((-1/2)-k-1) ] / k!
???) Wie kann ich den oberen Term mit 2^k kürzen. Ich blick da einfach nicht durch, obwohl das ja eigentlich schon Stoff in der AHS war :( ; Zu doof zum kürzen - traurig aber wahr ... Bitte um Zwischenschritte und(oder) Erklärung ...
ad Beispiel 461
---------------------
In hals's Beispiel kommt ja die Zeile k=5l-2n vor.
???) Wo kommt plötzlich dieses k her und was bedeutet es? Ab dieser Zeile ist mir so ziemlich alles unklar. Immer wenn ich glaube es kapiert zu haben fällt mir wieder von neuem was auf, was meine Theorien übern Haufen wirft. Vielleicht kann wer das Ende des Bsps noch kurz erklären.
___________
Abschließend: Ich weiß, is leider viel - ich brings einfach nimmer zam. Vielleicht hilft mir trotzdem wer. *ichsehrdankbarwär*
ciao, OSX
ad Beispiel 453
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Ich habe da ja in der vorletzten Zeile von hal's Ausarbeitung ...
Summe (n=0 bis x+y) [ Summe (k=0 bis n) von (x über k) * (y über n-k) * z^n ]
und in der letzen Zeile dann plötzlich nur mehr:
Summe (k=0 bis n) von (x über k) * (y über n-k) * z^n
???) Mich würde jetzt interessieren wieso man die äußere Summe plötzlich wegfallen lassen kann bzw. welche Schritte da noch evtl. dazwischen sind ...
Das in der letzten Zeile ist nur das c_n, nicht der komplette Ausdruck. Das eigentliche Ergebnis steht schon in der Zeile davor (das is nur ne Nebenrechnung).
ad Beispiel 465
---------------------
Wieder gehts mal um die vorletze und letze zeile des Bsp. Diesmal versteh ich nicht wie da das 2^k weggekürzt wird.
Vorletzte Zeile: [ (-1)*(-3)*(-5)*.....*(1-2k) ] / (2^k*k!)
letze Zeile: [ (-1/2)*((-1/2) - 1)*((-1/2) - 2)*.....*((-1/2)-k-1) ] / k!
???) Wie kann ich den oberen Term mit 2^k kürzen. Ich blick da einfach nicht durch, obwohl das ja eigentlich schon Stoff in der AHS war :( ; Zu doof zum kürzen - traurig aber wahr ... Bitte um Zwischenschritte und(oder) Erklärung ...
wird nicht gekürzt, einfach nur reingenommen in die summe
ad Beispiel 461
---------------------
In hals's Beispiel kommt ja die Zeile k=5l-2n vor.
???) Wo kommt plötzlich dieses k her und was bedeutet es? Ab dieser Zeile ist mir so ziemlich alles unklar.
k ist einfach irgendeine Variable, die ich hiermit definiert habe.
überleg dir was "Koeffizient von y^k" bedeutet, und wie das mit dieser Reihe in Zusammenhang steht. Vielleicht hilft es gedanklich, wenn du für n etwas einsetzt und die Reihe in eine normale Summe umwandelst.
Unic0der
10-04-2003, 08:57
ad 465)
--------
Ich versuch mal aufzuschreiben wie ich das verstehe:
Summe (l=0 bis n) [ (n über l) * x^(n-l) * y^(5l-2n) ]
Jetzt muss ich mir l ausrechen. (WIESO?)
Das mache ich einfach so: k = 5l-2n -> l=(k+2n)/5
Das k habe ich deswegen, weil die obere Form ja gleich
Summe (k=0 bis n) [ (n über k) * x^(k-l) * y^(k) ] ist (binom. Lehrsatz).
Nun nehme ich das y^k aus meiner Summe raus (WIESO?) und setze in den Rest für l ein.
Dieser Rest ist dann der Koeffizient von y^k (WIESO?).
Ich hab das ganze also leider noch nicht durchschaut. Könntest du das evtl noch mal erklären ???
ad 461)
--------
Sorry, ich sehs noch immer nicht wie das 2^k da oben reinkommt. Kannst vielleicht einen Zwischenschritt posten, wo noch nichts ausgerechnet, sondern erst eingesetzt ist. Dann würd ichs verstehen - Ich versteh nämlich nicht wie man das 2^k da jetzt vom Zähler in den Nenner raufbringt ...
ad 465)
--------
Ich versuch mal aufzuschreiben wie ich das verstehe:
Summe (l=0 bis n) [ (n über l) * x^(n-l) * y^(5l-2n) ]
Jetzt muss ich mir l ausrechen. (WIESO?)
Weil l die einzige veränderliche in diesem Ausdruck ist
Das mache ich einfach so: k = 5l-2n -> l=(k+2n)/5
Das k habe ich deswegen, weil die obere Form ja gleich
Summe (k=0 bis n) [ (n über k) * x^(k-l) * y^(k) ] ist (binom. Lehrsatz).
Nun nehme ich das y^k aus meiner Summe raus (WIESO?)[]quote]
Weil ich den Koeffizienten von y^k haben will, nicht y^k selber
[quote]und setze in den Rest für l ein.
Dieser Rest ist dann der Koeffizient von y^k (WIESO?).
du hast dann stehen:
#*y^0+#*y^1+#*y^2+...
wobei # irgendein Faktor ist (in der Reihe angegeben). Daher ist das # bei dem y^irgendwas das wir haben wollen (das in den eckigen klammern steht), daher nehmen wir das raus, wobei das in der potenz von y das angegebene k in der eckigen klammer ist (daher ist die funktion von k abhängig).
ad 461)
--------
Sorry, ich sehs noch immer nicht wie das 2^k da oben reinkommt. Kannst vielleicht einen Zwischenschritt posten, wo noch nichts ausgerechnet, sondern erst eingesetzt ist. Dann würd ichs verstehen - Ich versteh nämlich nicht wie man das 2^k da jetzt vom Zähler in den Nenner raufbringt ...
2^k=2*2*2*2*2*2*...
es sind k 2er, und rechts sind k faktoren, daher gibts genau einen 2er pro Faktor, und wir nehmen folgedessen einen 2er pro Faktor hinein
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