View Full Version : Mathebeispiele für Montag, 08.04.2002
dj_m.o.h.t.
21-03-2002, 10:45
Hi, Leutz!
Schreibe euch jetzt wieder die Beispiele zur nächsten Matheübung auf. 2 Beispiele fehlen mir aber: 398 und 426!
dj_m.o.h.t.
21-03-2002, 10:47
Pi = (12345 über 24513) = (124) (35)
1.Art: (12) (24) (35)
2.Art: (24) (41) (35)
3.Art: (35) (24) (41)
4.Art: (53) (12) (24)
dj_m.o.h.t.
21-03-2002, 10:51
3 Mengen A,B,C
Binomischer Lehrsatz: (x+y) hoch n = Summe k=0 bis n (n über k) * x hoch n-k * y hoch k
Es gibt (n über k) Möglichkeiten aus n Elementen k auszuwählen und dann (k über l) Möglichkeiten
nach dem Binomischen Lehrsatz für x=1 und y=1:
Summe k=0 bis n (n über k) = (1+1) hoch n = 2 hoch n
Summe k=0 bis n (k über l) = 2 hoch k
insgesamt: Summe k=0 bis n (n über k) * 2 hoch k = (1+2) hoch n = 3 hoch n
dj_m.o.h.t.
21-03-2002, 10:54
Summe k=0 bis n (n über k)*k*4 hoch k = Summe k=1 bis n (n-1)!*n/(n-k)!*(k-1)! * k*4 hoch k = n * Summe k=1 bis n (n-1 über k-1) * 4 hoch (k-1) * 4 = 4n * Summe k=0 bis n-1 (n-1 über k)*4 hoch k = 4n*(1+4) hoch n-1 = 4n*5 hoch n-1
lj_scampo
21-03-2002, 16:58
Huch! Ich bin neu hier und dies ist mein erster Beitrag.. also zuerst mal hallo an alle zusammen!
Beispiel 399
Laut mir gibt es noch die Möglichkeit:
(14)(12)(35) bzw. (35)(14)(12)
Außerdem frage ich mich, ob es auch als "unterschiedliche Darstellung" gilt, wenn man einfach einen Zweierzyklus vertauscht, wie z.B.: (14)(12)(35) = (41)(12)(35) da ja (14) = (41)
Wenn ja, dann bräuchte man ja nur von einer Möglichkeit die Zyklen intern permutieren und käme damit schon auf 2^3 verschiedene Darstellungen (bzw. 2^4 wenn man den (53)er-Zyklus nach vorne schiebt):
(14)(12)(35), (14)(12)(53)
(14)(21)(35), (14)(21)(53)
(41)(12)(35), (41)(12)(53), (41)(21)(35), (14)(21)(53)
Beispiel 398:
Habe da einfach pi^2,pi^3,pi^4,pi^5 und pi^6 berechnet
pi^6 ist dann das neutrale element...
und diese gruppe ist nicht isomorph zur S3 weil sie kommutativ ist, die S3 aber nicht
ist das Beispiel so einfach oder habe ich die angabe falsch verstanden?
last chris> bzw. die von \pi erzeugte gruppe ist zyklisch, was S_3 nicht ist.
Original geschrieben von lj_scampo
Huch! Ich bin neu hier und dies ist mein erster Beitrag.. also zuerst mal hallo an alle zusammen!
Beispiel 399
Laut mir gibt es noch die Möglichkeit:
(14)(12)(35) bzw. (35)(14)(12)
Außerdem frage ich mich, ob es auch als "unterschiedliche Darstellung" gilt, wenn man einfach einen Zweierzyklus vertauscht, wie z.B.: (14)(12)(35) = (41)(12)(35) da ja (14) = (41)
Wenn ja, dann bräuchte man ja nur von einer Möglichkeit die Zyklen intern permutieren und käme damit schon auf 2^3 verschiedene Darstellungen (bzw. 2^4 wenn man den (53)er-Zyklus nach vorne schiebt):
(14)(12)(35), (14)(12)(53)
(14)(21)(35), (14)(21)(53)
(41)(12)(35), (41)(12)(53), (41)(21)(35), (14)(21)(53)
ich würd sagen man schreibt einfach 2 zueinander inverse transpositionen hinten dran (also 2 mal dieselbe weil transpositionen ja invers zu sich selbst sind)
zb
(14)(12)(35)(32)(32)
PliniusSecundus
05-04-2002, 10:11
Hat schon irgendwer das Beispiel 426 geknackt??? :confused:
426.
Hier handelt es sich wohl um eine Kombination mit Wiederholung, also ((n+k-1) über k)
ganz klar ist es mir noch nicht, aber ich habe es mit einem kleinen Java-Prog empirisch überprüft.
Als Grundlagenwissen könnte man folgende Seite hernehmen (besonders gut finde ich die Übersichtsgrafik mit den Kugeln, sowas werd ma im Kaiser Skriptum nicht finden, denke ich):
http://www.phil.uni-sb.de/~jakobs/seminar/tutorium/kombinatorik/zusammenfassung.htm
Nun liegt eine Kombination mit Wiederholung vor, wir wollen ja aus n Fächern k auswählen und zwar mit Wiederholung, das heißt, man könnte alle k Kugeln in 1 Fach unterbringen, wie es in der Angabe steht, oder aber auch k verschiedene Fächer auswählen. Die Formel lautet nun:
(n+k-1)!/((n-1)!*k!) was soviel ist wie obige Formel (n+k-1) über (k)
voila!
426...
also ich hab versucht das rekursiv anzugehen und ich bekomme als anzahl n^k raus, was auch mit dem binomischen lehrsatz übereinstimmt (n=2 also aufteilen in 2 mengen in allen beliebigen arten von k elementen also 2^k was ja= summe i=0 bis k (küberi) =(1+1)^k)
in einem der bsps (weiss jetzt nichtdie nummer) wird ja auch verlang die anzahl der möglichkeiten etwas in 3 "fächer" aufzuteilen gefragt und da ist das ergebnis (1+1+1)^k = 3^k was auch mit n^k übereinstimmt
bei bsp 409 kommt es auf die Reihenfolge an, d.h. die Elemente werden unterschieden.
bei bsp 426 ist die Reihenfolge egal da die Kugeln ununterscheidbar sind, also ist es nur eine Kombination.
Original geschrieben von qmp
bei bsp 409 kommt es auf die Reihenfolge an, d.h. die Elemente werden unterschieden.
bei bsp 426 ist die Reihenfolge egal da die Kugeln ununterscheidbar sind, also ist es nur eine Kombination.
in bsp 409 wird eindeutig von auswahl von teilmengen gesprochen. weil es in einer menge keine reihenfolge der elemente gibt ist das auch eine kombination.
Original geschrieben von qmp
bei bsp 409 kommt es auf die Reihenfolge an, d.h. die Elemente werden unterschieden.
bei bsp 426 ist die Reihenfolge egal da die Kugeln ununterscheidbar sind, also ist es nur eine Kombination.
also die _reihenfolge_ ist beim 409er auch egal (siehe last)
der unterschied ist, dass es beim 409er darauf ankommt, welche elemente du in welcheTeilmenge steckst, beim 426 kommt es nur auf die Anzahl der Kugeln an, die du in die Fächer steckst (weil die Kugeln ja ununterscheidbar sind)
3^k wäre IHMO die lösung für _unterscheidbare kugeln_
mit Reihenfolge ist hier etwas anderes gemeint
bei Beispiel 409 hat man n=3 Mengen, in diese Mengen verteilst du 1..k unterscheidbare Elemente dabei kommt es auf die Reihenfolge an wie du die Elemente auf die 3 Mengen verteilst. Wenn es eine Kombination wäre dann wäre nur die Anzahl der Elemente in der Menge von Bedeutung.
Es kommt ja auch die Formel für die Variation mit Wh raus: n^k
kann jemand das Bsp 422 kurz erläutern?
Meiner Meinung nach handelt es sich bei Beispiel 426) um den selben Fall wie bei 409).
[...]
Hab meine Meinung mittlerweile geändert, es handelt sich tatsächlich um eine Kombination mit Wiederholung.
-- jjan
Original geschrieben von Chuck
426...
also ich hab versucht das rekursiv anzugehen und ich bekomme als anzahl n^k raus, was auch mit dem binomischen lehrsatz übereinstimmt (n=2 also aufteilen in 2 mengen in allen beliebigen arten von k elementen also 2^k was ja= summe i=0 bis k (küberi) =(1+1)^k)
in einem der bsps (weiss jetzt nichtdie nummer) wird ja auch verlang die anzahl der möglichkeiten etwas in 3 "fächer" aufzuteilen gefragt und da ist das ergebnis (1+1+1)^k = 3^k was auch mit n^k übereinstimmt
Ich denke dein Ansatz is falsch, weil:
Die Kugeln sind laut Angabe nicht unterscheidbar. Also ist es egal, welche Kugel jetzt in welchem Fach liegt. Es geht nur darum, wieviele Kugeln in welchem Fach sind. Und daher is es eine Kombination mit Wiederholung. Also Formel:
(n+k-1) über k
mfg Bernie
@jjan: nein! du kannst die Kugeln nicht unterscheiden.
kleines Bsp. n=3 Fächer, k=2 Kugeln
fall fach1 fach2 fach3
1 2 0 0
2 0 2 0
3 0 0 2
4 1 1 0
5 0 1 1
6 1 0 1
n^k wäre aber 9
(gibts ein Tag mit dem er die Leerzeichen nicht schluckt?)
dem kann ich nur zustimmen, dafür leg ich die hand ins feuer...
wie gesagt, bei 409 gehts um mengen, und in einer menge sind bekanntlich lauter wohlunterschiedene elemente. die kugeln von 426 sind hingegen nicht unterscheidbar.
lj_scampo
07-04-2002, 22:01
@qmp:
>gibts ein Tag mit dem er die Leerzeichen nicht schluckt?
es gibt das leerzeichen als "& n b s p ;" (alles ohne leerzeichen), was dann so aussieht (wenns denn klappt): test test
ack
verstanden danke für die aufklärung :)
dj_m.o.h.t.
08-04-2002, 16:40
Pi = (12345 über 24513)
Pi = (124) (35)
Pi zum Quadrat = (142)
Pi zur Dritten = (35)
Pi zur Vierten = (124)
Pi zur Fünften = (142) (35)
Pi zur Sechsten = identisch
=> nicht isomorph zu S3
dj_m.o.h.t.
08-04-2002, 16:42
wCkn = (n+k-1 über k)
zu wCkn ist zu sagen, dass das eine Kombination mit Wiederholung ist. Also:
w vor C oben, k nach C oben und n nach C unten
Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.
Original geschrieben von robby
wCkn = (n+k-1 über k)
zu wCkn ist zu sagen, dass das eine Kombination mit Wiederholung ist. Also:
w vor C oben, k nach C oben und n nach C unten
Mehr gibt es dazu nicht zu sagen.
sorry, robby, aber ich glaube kaum, dass jemandem, der nicht genau weiß warum das ein komb. mit wh ist (was schon oft genug gesagt wurde) damit geholfen ist...
ich probiers mal so zu erklären:
man betrachte eine Menge M={1,2,3,....n} Wobei n die Anzahl der Fächer ist und ein Element ein Fach symbolisiert. Jetzt wählt man k Mal irgendein Element daraus aus und gibts in eine Multimenge A. A beinhaltet also die Fächer und zu jeden Fach eine Vielfachheit ( -> wieviele Kugeln drinnenliegen)
Die Frage lautet also: Wieviele solche verschiedene möglichen Multimengen gibt es und die Antwort darauf ist (laut eigenthaler in der vo) wCkn...
mfg, Chris
oder noch einfacher und anschaulicher ist es unter http://www.phil.uni-sb.de/~jakobs/seminar/tutorium/kombinatorik/zusammenfassung.htm erklärt.
ja, stimmt schon.. nur hat der urbanek heute bei uns noch extra nachgefragt, welche menge man als ausgangsmenge nimmt und wie man die entstehende multimenge interpretiert...
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