Bsp 460

[wolti]

Hallo,

Ich habe hier eine kleines Problem mit der Angabe. Und zwar verstehe
ich nicht was die Extrabedienung hier soll. Ich fasse das mal kurz
zusammen warum mir das nicht klar ist.

Unter dem Koeffizienten [y^k] A(y) verstehe ich den Koeffizient a_k in
der Reihenentwicklung von A(y). Seht ihr das auch so ?

[y^k] A(y) mit A(y) = (x/y + y^2)^n --> Schafts ihr das in eine Reihe
zu entwickeln.

Und wozu dient die Bedienung (-n <= k <= 2n ) ? Wenn ich z.B. eine
normale Reihe habe.



___ inf
\
) a_k * x^k = A(x)
/__
k=0

und ich moechte den Koeffizienten [x^k], so nehme ich einfach a_k
raus. Habe ich den Koeffizienten a_k nicht direkt, so bilde ich die
k-te Ableitung von A(x) an der Stelle x0 und dividiere diese durch k!
und erhalte so auch den Koeffizienten.
Aber A(x) hängt sicher nicht von k ab !! Wiso also unser n in diesem
Beispiel oder was soll das bedeuten ? Ich denke es wird es nachher
von Bedeutung, weil uns halt nur diese Koeffizienten interessieren wo
zwischen diesem Bereich liegen, oder ?


Grüße,
Wolti

[wolti]

Hallo,

Ich denke ich habe einen möglichen Ansatz für die Lösung von 460 endlich gefunden.

Wir wollen nun die Koeffizienten ermitteln von -n <= k <= 2n.


[y^k] (x/y + y^2)^n

Unsere Erzeugendenfunktion ist also (x/y + y^2)^n. Zerlegen wir diese einmal kurz

n n n n
/ x \ / x + y^3 \ / 1 \ / \
( --- + y^2 ) = ( --------- ) = ( --- ) * ( x + y^3 )
\ y / \ y / \ y / \ /

Wir wissen das Produkt von zwei Erzeugendenfunktion ist das CAUCHY Produkt
der dazugehörigen Reihen. Überlegen wir uns einmal wie die Reihe ausschaut
für das erste:

n ___ inf
/ 1 \ \ r-n
( --- ) = ) a_{r} * y
\ y / /__
r=0

<a_{r}> = <1,0,0,0, ....>

Kann jeder noch überprüfen, passt aber sicher.

n ___ inf
/ \ \ (n-s) 3s
( x + y^3 ) = ) ncr(n,s)*x * y
\ / /__
s=0

Das hier dürfte auchpassen. Hab das nicht hergeleitet, sondern darauf
geschlossen. Scheint aber zu passen und habs für ein paar Sachen probiert.
So, bilden wir jetzt das CAUCHY Produkt dieser beiden Reihen. Wir fassen
also alle Exponenten von y zusammen.

___ inf ____ k
\ k \ (n-s)
) y * ) a_{r} * ncr(n,s) * x
/__ /___
k=0 3s + r - n = k

wir wissen, dass wir nur für r=0 einen Wert der Folge <a_{r}> bekommen, der
ungleich 0 ist. daraus folgern wir, dass s = (k + n)/3 sein muss und erhalten.

___ inf
\ k (n - (k + n)/3)
) y * ncr(n,(k+n)/3) * x
/__
k=0

Unser Koeffizient [y^k] ist also:

(n - (k + n)/3))
ncr(n,(k+n)/3) * x

Probieren wir das ganze einmal. Nehmen wir an n sei 2 und wir wollen alle
möglichen Koeffizienten k -2 <= k <= 2n berechnen.

Erster Weg:
2 2
/ x \ x
( --- + y^2 ) = ---- + 2*x*y + y^4
\ y / 2
y

-> Zur Kontroller wissen wir also:
[y^(-2)] = x^2
[y^(1)] = 2*x
[y^(4)] = 1

Unsere Formel:

n=2, k=-2:
(2 - (-2 + 2)/3))
= ncr(2,(-2+2)/3) * x
2 2 2
= ncr(2,0) * x = 1 * x = x <-- OKAY


n=2, k=1:
(2 - (1+2)/3)
= ncr(2,(1+2)/3) * x
1
= ncr(2,1) * x = 2*x <-- OKAY

n=2, k=4:
(2 - (4 + 2)/3)
= ncr(2,(4+2)/3) * x
(2 - (4+2)/3) 0
= ncr(2,2) * x = 1*x = 1 <-- OKAY

Und für Werte die nicht vorkommen gibt meine Formel kein ausrechenbares
Ergebniss aus, da dort der Binominalkoeffizient nicht ausrechnebar ist.


Grüße,
Wolti

[wolti]

Hallo,

Hier nochmal das fertige Ergebniss:



2n - k
n ------
k / x 2 \ / k + n \ 3
[y ] ( - + y ) = ncr ( n, ----- ) * x
\ y / \ 3 /

+ Folgende Randbedinung, damit wir auch nur gültige Werte bekommen:

k + n
------- muss ja restlos teilbar sein. ich setze daher an.
3

k + n kongruent 0 mod 3, dann ist es durch 3 sicher restlos teilbar.
k + n = l*3 (l beliebige ganze Zahl)
k = -n + l*3 (l beliebige ganze Zahl)

[Mihi]

n ___ inf
/ \ \ (n-s) 3s
( x + y^3 ) = ) ncr(n,s)*x * y
\ / /__
s=0

Das hier dürfte auchpassen. Hab das nicht hergeleitet, sondern darauf
geschlossen. Scheint aber zu passen und habs für ein paar Sachen probiert.
So, bilden wir jetzt das CAUCHY Produkt dieser beiden Reihen. Wir fassen
also alle Exponenten von y zusammen.


Auf Seite 63 Band 3 steht die Formel nur halt mit x und y vertauscht. Aber die Reihenfolge ist ja eh wurscht.

lg
Michi

[Mihi]

Hallo,



n ___ inf
/ \ \ (n-s) 3s
( x + y^3 ) = ) ncr(n,s)*x * y
\ / /__
s=0




Warum eigentlich immer "inf" und nicht "n"? Sollte nach Buch "n" sein. s/inf/n/g :)

[wolti]

Hallo,

Weil das egal ist, sobald s > n wird ist das ganze sowiso 0. Daher darfst auch die Summe bis inf bilden.

Grüße,
wolti

[Kornuun]

n ___ inf
/ \ \ (n-s) 3s
( x + y^3 ) = ) ncr(n,s)*x * y
\ / /__
s=0

Das hier dürfte auchpassen. Hab das nicht hergeleitet, sondern darauf
geschlossen. Scheint aber zu passen und habs für ein paar Sachen probiert.
So, bilden wir jetzt das CAUCHY Produkt dieser beiden Reihen. Wir fassen
also alle Exponenten von y zusammen.

___ inf ____ k
\ k \ (n-s)
) y * ) a_{r} * ncr(n,s) * x
/__ /___
k=0 3s + r - n = k

wir wissen, dass wir nur für r=0 einen Wert der Folge <a_{r}> bekommen, der
ungleich 0 ist. daraus folgern wir, dass s = (k + n)/3 sein muss und erhalten.

___ inf
\ k (n - (k + n)/3)
) y * ncr(n,(k+n)/3) * x
/__
k=0




also die 2 Schritte sind mir noch etwas unklar... wie kommt beim 1. das y^3s weg?? bzw. wieso
bekommt man nur für r=0 einen Wert für die Folge? bzw. wo kommt überhaupt das r her?

[wolti]

also die 2 Schritte sind mir noch etwas unklar... wie kommt beim 1. das y^3s weg?? bzw. wieso
bekommt man nur für r=0 einen Wert für die Folge? bzw. wo kommt überhaupt das r her?


n ___ inf
/ 1 \ \ r-n
(1) ( --- ) = ) a_{r} * y
\ y / /__
r=0

<a_{r}> = <1,0,0,0, ....>

n ___ inf
/ \ \ (n-s) 3s
(2) ( x + y^3 ) = ) ncr(n,s)*x * y
\ / /__
s=0

Okay. Das sind also diese beiden Teile mit denen ich das Produkt
bilden möchte. Ich möchte ja am Summe wieder irgendwas mit y^k
und einem Koeffizienten von y^k. Daher setzte ich dir Forderung,
dass k = 3s + r -n ist. Wenn das erfüllt ist fäßt sich der
Koeffizient ja so zusammen:

___ inf ____ k
\ \ r-n (n-s) 3s
) * ) a_{r} * y ncr(n,s) * x * y
/__ /___
k=0 3s + r - n = k

Nun kann ich ja die beiden Zusammenfassen, also das y^(r-n) und
das y^3s. bei der Multiplikation addieren sich diese Exponenten
und wir können es rausziehen, da wir ja wissen das 3s + r -n = k
ist.
Dann haben wir folgendes:

___ inf ____ k
\ k \ (n-s)
) y * ) a_{r} * ncr(n,s) * x
/__ /___
k=0 3s + r - n = k

Wir wissen, dass wir nur für r=0 einen Wert der Folge <a_{r}>
bekommen, der ungleich 0 ist. daraus folgern wir, dass s = (k + n)/3
sein muss und erhalten. Hierzu siehe auch (1), meine
Reihenentwicklung und die Folge <a_[r}>

___ inf
\ k (n - (k + n)/3)
) y * ncr(n,(k+n)/3) * x
/__
k=0

Und damit sind wir hier.


Vielleicht hat jemand eine einfachere Lösung gefunden. Fragen wir mal so in die Runde.

Grüße,
Wolti

[jusr]

Ich hab das Beispiel etwas anders gerechnet - ohne das
CAUCHY-Produkt verwenden zu müssen.

Gesucht is der Koeff. von y^k in (x/y + y^2)^n

Formen wir (x/y + y^2)^n ein bisschen um:
(x/y + y^2)^n = ( (x + y^3) / y )^n =
= ((x + y^3)^n) / y^n

Jetzt haben wir im Zähler einen Term der Form (a+b)^n
Binomischer Lehrsatz: (a+b)^n = Summe ( (n über k) * a^(n-k) * b^k, k=0, n)

Also formen wir den Zähler nach dem Binomischen Lehrsatz um:
(x + y^3)^n = Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * (y^3)^l, l=0, unendl.)
= Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * y^(3*l), l=0, unendl.)

Im Nenner haben wir ja noch das y^n. Man kann das y im Zähler und im Nenner
kürzen und erhält dann:
((x + y^3)^n) / y^n = Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * y^(3*l - n), l=0, unendl.)

So jetzt interessiert uns der Koeffizient von y^k. Ich setz also k gleich dem
Exponenten von y:

k = 3*l - n
-> l = (k+n)/3

Somit erhalten wir
((x + y^3)^n) / y^n = Summe ( ( n über (k+n)/3) * x^(n - ((k+n)/3)) * y^k, k=0, unendl.)

(k+n)/3 muss ganzzahlig teilbar sein, also
k+n kongruent 0 mod 3
k+n = l*3
l...beliebige ganze Zahl

ist das erfüllt dann ist der Koeff. von y^k gleich:

( n über (k+n)/3) * x^(n - ((k+n)/3)) = ( n über (k+n)/3) * x^((2n-k)/3)

Also, ich denk das müsste so stimmen.
Grüße, jusr

[wolti]

Im Nenner haben wir ja noch das y^n. Man kann das y im Zähler und im Nenner kürzen und erhält dann: ((x + y^3)^n) / y^n = Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * y^(3*l - n), l=0, unendl.)


Stimmt. Klingt einfacher.. y^n ist ja konstant und kanst dann einfach in die summe reinziehen :-( Tja, die wo es nicht sehen müssen halt länger rechnen.. Aber beim Ergebniss kommen wir eh auf das gleiche.

Grüße,
wolti

[JayJay]

Ich hab das Beispiel etwas anders gerechnet - ohne das
CAUCHY-Produkt verwenden zu müssen.

Gesucht is der Koeff. von y^k in (x/y + y^2)^n

Formen wir (x/y + y^2)^n ein bisschen um:
(x/y + y^2)^n = ( (x + y^3) / y )^n =
= ((x + y^3)^n) / y^n

Jetzt haben wir im Zähler einen Term der Form (a+b)^n
Binomischer Lehrsatz: (a+b)^n = Summe ( (n über k) * a^(n-k) * b^k, k=0, n)

Also formen wir den Zähler nach dem Binomischen Lehrsatz um:
(x + y^3)^n = Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * (y^3)^l, l=0, unendl.)
= Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * y^(3*l), l=0, unendl.)

Im Nenner haben wir ja noch das y^n. Man kann das y im Zähler und im Nenner
kürzen und erhält dann:
((x + y^3)^n) / y^n = Summe ( ( n über l) * x^(n-l) * y^(3*l - n), l=0, unendl.)

So jetzt interessiert uns der Koeffizient von y^k. Ich setz also k gleich dem
Exponenten von y:

k = 3*l - n
-> l = (k+n)/3

Somit erhalten wir
((x + y^3)^n) / y^n = Summe ( ( n über (k+n)/3) * x^(n - ((k+n)/3)) * y^k, k=0, unendl.)

(k+n)/3 muss ganzzahlig teilbar sein, also
k+n kongruent 0 mod 3
k+n = l*3
l...beliebige ganze Zahl

ist das erfüllt dann ist der Koeff. von y^k gleich:

( n über (k+n)/3) * x^(n - ((k+n)/3)) = ( n über (k+n)/3) * x^((2n-k)/3)

Also, ich denk das müsste so stimmen.
Grüße, jusr

ich habs mit dem selben ansatz gerechnet, naja ich hatte zwischenzeitlich paar probleme, die ich durch diesen post beheben konnte. thx ! :)

interessant find ich die loesung die rauskommt wenn man für k nun das intervall von (-n bis 2n) nimmt.

ich hab mir die ersten 2 und dann noch den letzten koeffizienten berechnet, mehr braucht man eh nicht ;)

k=-n: x^n
k=-n+3 (weil (k+n)mod3=0) : n*x^(n-1)
.
.
.
k=2n: 1

das sind doch die ganzen ableitungen x^n oder irre ich mich da ??

mfg JayJay