wolti
02-04-2003, 18:50
Berechnen sie unter Benützung des Binomischen Lehrsatzes:
___ n
\ /n\
) | | * k * 4^(k)
/_ _ \k/
k=0
Gut, schauen wir uns mal an was wir wissen. (Ich schreibe
gleich bis inf, da ich dann leichter rechnen kann und
n über k für k > n sowiso 0 ist)
___ inf
\ /n\
(1 + x)^n = ) | | * x^(k)
/__ \k/
k=0
Wir immer brauchen wir eine tolle Idee. Ich schaue, dass
ich das obere irgendwie herbekomme in dem ich das untere
umforme, damit ich es lösen kann. Ich leite einmal die linke
und rechte seite ab.
___ inf
\ /n\
((1+x)^n)' = D ( ) | | * x^(k) )
/__ \k/
k=0
D ist hierbei eine Differenzierende Abbildung, die haben wir
ja vor kurzem in der Vorlesung gemacht. Allgemein gilt ja:
___ inf ___ inf ___ inf
\ \ \
D ( ) a_k * x^k ) = ) a_k * k * x^(k-1) = ) a_{k+1} * (k+1) * x^k = f(x)'
/__ /__ /__
k=0 k=1 k = 0
Schaut immer noch nicht so gut aus. Ich multipliziere einmal
mit x und erhalte
___ inf
\
) a_{k+1} * (k+1) * x^(k + 1) = f(x)'*x
/__
k = 0
Jetzt schreibe ich das schnell um (k + 1 ersetze ich durch k. ändert ja
nix)
___ inf
\
) a_{k} * (k) * x^(k) = f(x)'*x
/__
k = 0
Und schon kann ich es auf das obere beispiel anwenden. Wir gehen davon aus,
dass wir am Anfang nur hatten:
___ inf
\ /n\
) | | 4^(k) = (1+4)^n
/_ _ \k/
k=0
Jetzt leite ich beide Seiten ab.
___ inf
\ /n\
) | | k * 4^(k-1) = ((1+4)^n)'
/_ _ \k/
k=0
jetzt noch mit x (4) multiplizieren.
___ inf
\ /n\
) | | k * 4^(k) = ((1+4)^n)'*4
/_ _ \k/
k=0
--> Unsere Ergebniss ist n*(1+4)^(n-1)*4.
Grüße,
Wolti
___ n
\ /n\
) | | * k * 4^(k)
/_ _ \k/
k=0
Gut, schauen wir uns mal an was wir wissen. (Ich schreibe
gleich bis inf, da ich dann leichter rechnen kann und
n über k für k > n sowiso 0 ist)
___ inf
\ /n\
(1 + x)^n = ) | | * x^(k)
/__ \k/
k=0
Wir immer brauchen wir eine tolle Idee. Ich schaue, dass
ich das obere irgendwie herbekomme in dem ich das untere
umforme, damit ich es lösen kann. Ich leite einmal die linke
und rechte seite ab.
___ inf
\ /n\
((1+x)^n)' = D ( ) | | * x^(k) )
/__ \k/
k=0
D ist hierbei eine Differenzierende Abbildung, die haben wir
ja vor kurzem in der Vorlesung gemacht. Allgemein gilt ja:
___ inf ___ inf ___ inf
\ \ \
D ( ) a_k * x^k ) = ) a_k * k * x^(k-1) = ) a_{k+1} * (k+1) * x^k = f(x)'
/__ /__ /__
k=0 k=1 k = 0
Schaut immer noch nicht so gut aus. Ich multipliziere einmal
mit x und erhalte
___ inf
\
) a_{k+1} * (k+1) * x^(k + 1) = f(x)'*x
/__
k = 0
Jetzt schreibe ich das schnell um (k + 1 ersetze ich durch k. ändert ja
nix)
___ inf
\
) a_{k} * (k) * x^(k) = f(x)'*x
/__
k = 0
Und schon kann ich es auf das obere beispiel anwenden. Wir gehen davon aus,
dass wir am Anfang nur hatten:
___ inf
\ /n\
) | | 4^(k) = (1+4)^n
/_ _ \k/
k=0
Jetzt leite ich beide Seiten ab.
___ inf
\ /n\
) | | k * 4^(k-1) = ((1+4)^n)'
/_ _ \k/
k=0
jetzt noch mit x (4) multiplizieren.
___ inf
\ /n\
) | | k * 4^(k) = ((1+4)^n)'*4
/_ _ \k/
k=0
--> Unsere Ergebniss ist n*(1+4)^(n-1)*4.
Grüße,
Wolti