Bsp. 301

[Schof]

Hallihallo, ich fang einmal den lustigen Reigen der Beispiele an:
Folgende Reihe soll auf Konvergenz und absolute Konvergenz untersucht werden.

Summe((-1)^n)/((n+3)^4/3)
-1^n bedeutet, dass es sich um eine alternierende Folge handelt,d.h. die Glieder haben abwechselnde Vorzeichen, in unserem Fall beginnend bei +.
Das bedeutet für uns, dass wir das Leibnizsche Konvergenzkriterium anwenden.
Summe(-1)^n*ak (ak>=0), bei der <ak> monoton fallend ist, mit lim(ak)=0 ist konvergent.
ak ist monoton fallend (xn>=xn+1) z.B.: x0= 1/(3^(4/3)) x1= 1/(4^(4/3))
x0>x1 und er Limes von ak ist 0, weil der Nenner (n+3)^(4/3) immer größer wird und damit der Term gegen 0 geht, dass heißt 0 ist ein Häufungspunkt, in dessen E-Umgebung fasst alle Glieder von ak liegen.Daher ist auch
Summe((-1)^n)/((n+3)^4/3) konvergent.

Absolute Konvergenz (bin mir nicht sicher):
Ich suche ein bk, dessen Elemente sicher immer größer sind, als die Elemente von ak.
z.B: 1/(n+4)^4/3 ist sicher immer größer
Jedoch ist 1/n^4/3 sicher immer kleiner, also was nimm ich nun, kann mir jemand, dass mit den Majoranten, Minoranten genauer erklären. Ich werd nicht ganz schlau daraus. Ich kann mir ja immer was basteln, was kleiner oder größer ist, oder???
Ciao
Schof

[wolti]

Hallo,

<-- modified --> danke an ibins.. ich hatte die 4 wurzel drinnen, daher bei mir divergent gewesen. natürlich auch absolut konvergent wie ibins richtig bemerkt hat.

Grüße,
wolti

[ibins]

hm, da hab ich was nicht geschnallt....

da existiert eine divergente Minorante.... die schaut logisch aus, das heißt, nicht absolut konvergent, aber trotzdem konvergent ???? Geht das?

und hal hat in seiner Ausarbeitung eine konvergente Majorante erwähnt... ich glaub da widerspricht sich was.
Das hier scheint mir momentan aber logischer zu sein.
help please!

[ibins]

mein Versuch dazu unter http://hades.gothic.at/iforum/showthread.php?postid=50892

[Iwoas]

hab blödsinn geschrieben gehabt.

[Schof]

Also mal schauen, ob ichs jetzt geschnallt hab. Wenn an=1/(n+3)^(4/3) ist, dann nehm ich z.B. ein bn 1/n^(4/3) und das ist sicher eine Majorante, weil |an| <= bn , mit bn>=0 ist, d.h. jedes Glied aus an ist kleiner als das entsprechende Glied von bn.
Weil Summe(n=1 bis unendlich) 1/n^(4/3) eine hyperharmonische Reihe der Form
Summe(k=1 bis unendlich) 1/k^Alpha mit alpha>1 ist, ist sie konvergent und daher
Summe((n>=0) 1/(n+3)^(4/3)) absolut konvergent. Kann das wer bestätigen??
ciao
Schof

[AmonRa]

also dass konvergent is - is mir klar-
aber könnt wer eine einigermassen gscheite erklärung hinschreiben wieso nun ABSOLUT????

th@nkX :devil: AMON

[ibins]

naja, absolute Konvergenz kann man mit einer konvergenten Majorante beweisen. Was absolute Konvergenz nun genau ist, weiß ich auch nicht, aber ich hoff, das ist wurst, Hauptsache bewiesen... :shinner:

[lEn00x]

so weit ich weis bedeuted abs. konv. nur, dass die reihe durchgehend konvergent ist.

[scheity]

laut meines wissens heisst absolut konvergent wenn der absolutwert vom ergebnis gebildet wird und dieses ist konvergent.
das hab ich irgendwo gelesen weis aber nicht genau ob das so stimmen kann

[the_unclean]

Also mal schauen, ob ichs jetzt geschnallt hab. Wenn an=1/(n+3)^(4/3) ist, dann nehm ich z.B. ein bn 1/n^(4/3) und das ist sicher eine Majorante, weil |an| <= bn , mit bn>=0 ist, d.h. jedes Glied aus an ist kleiner als das entsprechende Glied von bn.
Weil Summe(n=1 bis unendlich) 1/n^(4/3) eine hyperharmonische Reihe der Form
Summe(k=1 bis unendlich) 1/k^Alpha mit alpha>1 ist, ist sie konvergent und daher
Summe((n>=0) 1/(n+3)^(4/3)) absolut konvergent. Kann das wer bestätigen??
ciao
Schof

Mhmm, Schof klingt ganz gut, ich hab nur eine Frage:

Wir können in diesem Fall nur genau wissen daß |ak| <= |bk| ist, weil wir das (-1)^n mittels leibnitz wegbekommen haben, ansonsten könnte man keine Aussage treffen oder?

[Unic0der]

Kann man nicht die (absolute) Konvergenz ganz einfach so beweisen, indem man einfach den Betrag der gegebenen Reihe nimmt:

SATZ: "SUMME ak heißt absolut konvergent, wenn Summe Betrag ak konvergent ist"

Wenn ich nun den Betrag von der gegeben Reihe hernehme habe ich im Zähler jetzt immer 1 (d.h. die reihe ist nun nicht mehr alternierend) und der Nenner geht trivialerweise gegen 0, da er immer größer wird. Somit hätte ich die konvergenz von dem Betrag der Reihe bewiesen und wegen dem Satz (würde gerne den Namen von dem Ding wissen - habe ihn nur aus meiner Mitschrift) weiß ich nun auch, dass die Reihe absolut konvergent ist.

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Ist das so auch richtig oder habe ich da einen schweren Denkfehler. Irgendwie schaut diese Lösung ja zu leicht aus ...