Bsp 20 (Reihenentwicklung)

[wolti]

Hallo,

Das hat eigentlich sehr gut funktioniert. Wir haben f(x) = 1/(1-x) mit der Anschlußstelle x0 = -1. Wir deuten f(x) als Grenzfunktion einer Potenzreihe der Form:

f(x) = summe { an * (x-x0)^n, n, 0, inf }




d^k 1
a_{n} = ----- f(x) * --- | x = x0
x^k n!

Allgemein haben wir einen Term der Form 1/x^n, wobei wir noch die innnere
Ableitung immer brauchen.

d 1 1
-- ----= (-n) * -------
dx x^n x^(n+1)

1
f(x) = -------
1 - x

a_0 = 1/(1 - (-1)) = 1/2
1 1 1
a_1 = (-1) * -------- * (-1) * 1/1! = (1) * ------- * -----
^ (1-x)^2 ^ (1-x)^2 1!
| |
Ist das (-n) Ist die innere Ableitung

1 1 1
a_2 = (-2) * -------- * (-1) * 1/2! = (2)*(1) ------- * -----
(1-x)^3 (1-x)^3 2!

1 1 1
a_3 = (2)*(1)*(-3) * ------- * (-1) * 1/3! = (3)*(2)*(1) * ------- * -----
(1-x)^4 (1-x)^4 3!

Wir sehen also, dass sich die Fakultäten wegkürzen. Jetzt setzen wir in jedem dieser
Terme einmal x0 = -1 ein, dass haben wir immer folgenden Ausdruck:

1 1
a_n = (n)! * --------- * ----
2^(n+1) (n!)

Allgemein erhalten wir für a_n

1
a_n = -------
2^(n+1)

=> Reihenentwicklung = summe { 1/(2^(n+1)) * (x + 1)^n ,n, 0, inf}


Grüße,
Wolti

[Kornuun]

(-2)*(1) 2! 1
a_2 = -------- * (-1) * 1/2! = ------- * -----
(1-x)^3 (1+x)^3 2!


Also vielleicht hab ich ja einfach was übersehen aba wie wird bitte aus dem (1-x)^3 ein (1+x)^3


1
a_n = -------
2^(n+1)


und wie kommt man dann auf an??

edit:

ich habs ma jetzt nochmal angschaut und das Ergebnis stimmt, aber der Vorzeichenfehler bleibt meiner Meinung nach
du wolltest glaub ich einfach 1+1 schreiben für die stelle -1 wie gesagt das Ergebnis stimmt :)

[wolti]

Hallo,

Habs oben geändert und noch ein bisschen dokumentiert. Habe mich vertippt beim abschreiben vom Zettel (Ich rechne immer auf Papier zuerst)

Grüße,
Wolti

[hal]

Naja, in ASCII-Art rechnen ist keine gute Idee :)

Aber dein Mathematica anwerfen wär vielleicht noch besser (auch wenns übers netzwerk ist)

[wolti]

Sag sowas nicht, schau meinen neuen post an <-> Ich mach sogar schon Summenzeichen in ascii.

Grüße,
Wolti