Bsp 329

[wolti]

Hallo,

Schon jemand auf eine gute Idee gestossen. Ich kann momentan schon folgende Teile beweisen, aber an der Gesamtlösung happert es noch ein bisschen:


summe { ncr(n,k)^2, k = 0, n }
summe { ncr(n,k) * ncr(n,n-k), k = 0, n }

Das die beiden gleich sind geht sehr schnell. Ich schreibe den zweiten Teil
schnell aus:

n! n!
ncr(n,k) *ncr(n, n-k) = ------------ * --------------------
(n-k)! * k! (n-(n-k))! * (n-k)!
n! * n! (n!)^2
= ------------------------- = ----------------- = ncr(n,k)^2
(n-k)! * k! * k! * (n-k)! (n-k)!^2 * k!^2

Gut, jetzt verwenden wir einmal den unteren Hinweis und schauen ob wir
auf eine Lösung kommen.

Da steht mal was von Koeffizienten (1+x)^n * (1+x)^n = (1+x)^2n und wir
sollen die Reihen betrachten und die Vergleichen.

(1+x)^n = summe { ncr(n,k)*x^k, k=0, n }

(1+x)^2n = summe { ncr(2*n,k) * x^k, k=0, 2n }

So, multiplizieren wir mal die ersten beiden Reihen.

summe { ncr(n,r)*x^r, r=0, n } * summe { ncr(n,s)*x^s, s=0, n }

Sei ncr(n,r) unsere reihe <ar> und ncr(n,s) unsere reihe <bs>. Wir fassen
mal die passenden produkte, also jene mit gleichem exponent zusammen und
erhalten maximal 2n als exponenten.

Wir erhalten als Ergebniss auf jedenfall folgende Form.

summe { summe { ar * bs * x^r*x^s, r+s = k }, k=0, 2n }

Ich forme die innere Summe etwas um. da r+s = k sein muss, kann ich auch
schreiben r=0 bis k und s = k-r

summe { summe { a_r * b_{k-r} * x^r * x^(k-r), r=0, k }, k=0, 2n }

summe { summe { a_r * b_{k-r} * x^k, r=0, k }, k=0, 2n}

a_r = ncr(n,r)
b_r = ncr(n,k-r)

--> EDITIERT HIER - DAS IST NATÜRLICH MIST <--
das hatten wir oben schon, wissen also, dass es ncr(n,r)^n ist. wir erhalten
nun:
summe { summe { ncr(n,r)^2 * x^r, r=0, k }, k=0, 2n}
--> <--



Leider hilft mir das auch nicht viel weiter und ich rechne immer im Kreis.. Jemand einen glücklicheren Ansatz gefunden ?

Grüße,
Wolti

[tivolo]

Hi,

damit's nicht immer heißt, dass der wolti hier alles rechnet, poste ich ausnahmsweise mal meine Lösung - ist zwar für die Mittwochsgruppe, hilft vielleicht trotzdem weiter:

mfg,
tivolo

[wolti]

Hallo,

Eine Frage zu deinem Beispiel. Ich verstehe den Schritt nicht welchen du ansetzt um die Summen zu vertauschen. Formel 3 und 4. Oder kannst du mal erklären warum du der Meinung bist, dass man das vertauschen darf ?



summe { x^k * summe { ncr(n,l)*ncr(m,k-l), l ,0, k }, k, 0, inf}

Also eine unendliche Summe über eine endliche Summe, wobei in der zweiten Summe auch das k
vorkommt welches in der ersten Summe erhöht wird. Dann vertauscht du die Summen. Nach
dieser Theorie dürfte ich ja auch folgende machen:


(1) summe { a^k * summe {b^l,l,l=0,k}, k, 0, inf}

sollte das gleiche sein wie:

(2) summe { b^l * summe {a^k,k,k=0,inf}, l, 0, k}

Ich habe nichts anderes gemacht als du, und auch die Summenzeichen vertauscht
und einen faktor wo nicht von k abhängt nach vorgezogen.

Nehmen wir mal an wir kontrollieren das. sei b = 1 und |a| < 1

Dann giltet für summe {b^l,l,l=0,k} = (k+1) wenn b=1 ist.
Dann giltet für summe {{a^k,k,k=0,inf} = 1/(1-a)

Bei (2) erhalten wir:
summe { b^l * 1/(1-a), l, 0, k } = 1/(1-a) * summe{ b^l,l,0,k } = 1/(1-a) * (k+1).

Bei (1) erhalten wir:
summe { a^k * (k+1), k, 0, inf } und das wir sicher nicht das gleiche sein, wie
1/(1-a) * (k+1).


Grüße,
Wolti

[tivolo]

hi,

gut, es war gestern spät. deshalb waren meine ausführungen im angehängten file wohl etwas spärlich.

hier die updated-version vom file (im html-format, damit's jeder lesen kann). damit dürften wohl alle fragen beantwortet sein.

mfg,
tivolo

[wolti]

Hallo,

Ja, so stimme ich zu, dass man die beiden Summen vertauschen kann. Hier sind auch beide summen bis inf, hier ist es auch klar. Beim anderen Fall von dir hatten wir eine Summe von k=0 bis inf und eine andere summen l=0 bis k !
Dort darf man es nicht.

Grüße,
Wolti

[tivolo]

ja, schon klar. in meinem kopf wars klar, aber um die uhrzeit hab ichs net gschafft, das ganze noch für jemand anderen verständlich zu formulieren.

mfg,
tivolo