wolti
28-03-2003, 00:29
Hallo,
Habe ja wieder einmal ein A... Beispiel erwurschen.. Hat ganz schön lange gedauert der Mist.
Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1-x^2)*cos(x) an der Stelle x0=0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
1) Entscheiden der beiden Teilfunktionen
f(x) = f1(x)*f2(x)
f1(x) = 1 - x^2
f2(x) = cos(x)
Für Potenzreihen allgemein gilt ja:
P(x,x0) = summe { ak * (x-x0)^k, k ,0, inf}
d^k
ak = ----(f(x)) * 1/k! <-- k,te Ableitung der Funktion
dx^k
Entwickeln von f1(x):
a0 = f1(x0=0) = 1
a1 = f1'(x)|x=x0 * 1/1! = -2*x/1! = 0
a2 = f1''(x)|x=x0 * 1/2! = -2/2 = -1
<ak> = <1,0,-1,0,0,0,....>
Entwickeln von f2(x):
b0 = f(x0=0) = 1
b1 = f2'(x)|x=x0 * 1/1! = -sin(x)/1! = 0
b2 = f2''(x)|x=x0 * 1/2! = -cos(x)/2! = -1/2!
b3 = f3'''(x)|x=x0 * 1/3! = sin(x)/3! = 0
b4 = f4''''(x)|x=x0 * 1/4! = cos(x)/4! = 1/4!
..., so geht das also weiter. ich erhalte als bildungsgesetz.
h(n)
bn = ------
n!
h(n) sei eine Funktion, für die gilt:
h(n) = 1 wenn n kongruent 0 mod 4
h(n) = -1 wenn n kongruent 2 mod 4
h(n) = 0 falls n anders
Eine Funktion die das erfüllt und die ich gefunden habe wäre.
h(n) = cos(n*pi/2)
bn = <cos(n*pi/2)/n!
3. Berechnung des Produktes der beiden Summen:
Nun haben wir zwei Potenzreihen:
P1(x,x0) = summe { ak * x^k, k, 0 ,inf }
P2(x,x0) = summe { bk * x^k, k, 0, inf }
Wir möchten nun das Produkt dieser beiden Reihen P1(x,x0) und P2(x,x0) und erhalten.
P1(x,x0)*P2(x,x0) = summe { cn * x^k, k, 0, inf}
cn = summe { a_{k}*b_{n-k}, k, 0, n }
Schauen wir uns ein paar Glieder cn an welcher wir durch die Faltung/CAUCHY Produkt
berechnen können.
c0 = a0*b0
c1 = a0*b1 + a1*b0
c2 = a0*b2 + a1*b1 + a2*b0
c3 = a0*b3 + a1*b2 + a2*b1 + a3*b0
Alle Glieder der Folge <ak> sind ja ab 2 = 0. Daraus schliessen wir auf ein allgemeines
cn von:
cn = a_{0}*b_{n} + a_{2}*b_{n-2}
cn = b_{n} - b_{n-2} (Die a eingesetzt, da sie ja konstant sind)
Die ersten beiden rechne ich schnell aus. c0 = 1, c1 = 0
4) Wir erhalten als fertiges Ergebniss.
P1(x,x0) * P2(x,x0) = a0*b0 + summe{(b_{n} - b_{n-2})*x^n, n, 2, inf}
(Ich starte ab zwei, da ich die ersten beiden rausgezogen habe)
Ausgeschrieben ergibt das folgenden Term:
/ cos(n*pi/2) cos((n-2)*pi/2) \
= 1 + summe { | ------------- - ----------------- | * x^n, n, 2, inf }
\ n! (n-2)! /
Ich habe als Kontroller noch ein Bild angehängt, welches die beiden Funktionen zeichnet. Line 1 ist hierbei die Originalfunktion und man sieht, wie die andern nur so halbwegs rankommen (Je nachdem ob ich alle Glieder der Potenzreihe verwende). line 2 verwendet 10 Glieder der Reihe, man sieht also, dass sie schon sehr nahe an der Funktion liegt.
Grüße,
Wolti
Habe ja wieder einmal ein A... Beispiel erwurschen.. Hat ganz schön lange gedauert der Mist.
Gesucht ist die Potenzreihenentwicklung von f(x) = (1-x^2)*cos(x) an der Stelle x0=0 durch Produktbildung zweier Potenzreihen.
1) Entscheiden der beiden Teilfunktionen
f(x) = f1(x)*f2(x)
f1(x) = 1 - x^2
f2(x) = cos(x)
Für Potenzreihen allgemein gilt ja:
P(x,x0) = summe { ak * (x-x0)^k, k ,0, inf}
d^k
ak = ----(f(x)) * 1/k! <-- k,te Ableitung der Funktion
dx^k
Entwickeln von f1(x):
a0 = f1(x0=0) = 1
a1 = f1'(x)|x=x0 * 1/1! = -2*x/1! = 0
a2 = f1''(x)|x=x0 * 1/2! = -2/2 = -1
<ak> = <1,0,-1,0,0,0,....>
Entwickeln von f2(x):
b0 = f(x0=0) = 1
b1 = f2'(x)|x=x0 * 1/1! = -sin(x)/1! = 0
b2 = f2''(x)|x=x0 * 1/2! = -cos(x)/2! = -1/2!
b3 = f3'''(x)|x=x0 * 1/3! = sin(x)/3! = 0
b4 = f4''''(x)|x=x0 * 1/4! = cos(x)/4! = 1/4!
..., so geht das also weiter. ich erhalte als bildungsgesetz.
h(n)
bn = ------
n!
h(n) sei eine Funktion, für die gilt:
h(n) = 1 wenn n kongruent 0 mod 4
h(n) = -1 wenn n kongruent 2 mod 4
h(n) = 0 falls n anders
Eine Funktion die das erfüllt und die ich gefunden habe wäre.
h(n) = cos(n*pi/2)
bn = <cos(n*pi/2)/n!
3. Berechnung des Produktes der beiden Summen:
Nun haben wir zwei Potenzreihen:
P1(x,x0) = summe { ak * x^k, k, 0 ,inf }
P2(x,x0) = summe { bk * x^k, k, 0, inf }
Wir möchten nun das Produkt dieser beiden Reihen P1(x,x0) und P2(x,x0) und erhalten.
P1(x,x0)*P2(x,x0) = summe { cn * x^k, k, 0, inf}
cn = summe { a_{k}*b_{n-k}, k, 0, n }
Schauen wir uns ein paar Glieder cn an welcher wir durch die Faltung/CAUCHY Produkt
berechnen können.
c0 = a0*b0
c1 = a0*b1 + a1*b0
c2 = a0*b2 + a1*b1 + a2*b0
c3 = a0*b3 + a1*b2 + a2*b1 + a3*b0
Alle Glieder der Folge <ak> sind ja ab 2 = 0. Daraus schliessen wir auf ein allgemeines
cn von:
cn = a_{0}*b_{n} + a_{2}*b_{n-2}
cn = b_{n} - b_{n-2} (Die a eingesetzt, da sie ja konstant sind)
Die ersten beiden rechne ich schnell aus. c0 = 1, c1 = 0
4) Wir erhalten als fertiges Ergebniss.
P1(x,x0) * P2(x,x0) = a0*b0 + summe{(b_{n} - b_{n-2})*x^n, n, 2, inf}
(Ich starte ab zwei, da ich die ersten beiden rausgezogen habe)
Ausgeschrieben ergibt das folgenden Term:
/ cos(n*pi/2) cos((n-2)*pi/2) \
= 1 + summe { | ------------- - ----------------- | * x^n, n, 2, inf }
\ n! (n-2)! /
Ich habe als Kontroller noch ein Bild angehängt, welches die beiden Funktionen zeichnet. Line 1 ist hierbei die Originalfunktion und man sieht, wie die andern nur so halbwegs rankommen (Je nachdem ob ich alle Glieder der Potenzreihe verwende). line 2 verwendet 10 Glieder der Reihe, man sieht also, dass sie schon sehr nahe an der Funktion liegt.
Grüße,
Wolti