Kein Übungsbeispiel, Reihe 1/(ln n)^2

[wolti]

Hallo,

Ich habe gerade ein anderes Beispiel gerechnet und wollte fragen ob jemand eine tolle Idee dazu hat. Nehmen wir an wir haben eine Reihe:

summe_{1/ln(n)^2,n,2,unendlich).

Ich möchte jetzt zeigen, dass diese Reihe divergent ist und setze die Reihe mit den Koeffizienten 1/n als divergente Minorante an. Zu zeigen ist also, dass es wirklich eine Minorante ist:

1/n < 1/ln(n)^2

ln(n)^2 < n

ln(n) * ln(n) < wurzel(n) * wurzel(n)

wenn nun ln(n) < wurzel(n) ist geht das ganze. Hat jemand eine Idee wie man das beweisen kann, dass es stimmt sieht man ja sofort. Ich komme hier mit Induktion nicht wirklich weiter, und sonst habe ich auch keinen guten Ansatz gefunden.

Grüße,
Wolti

[Spockman]

Hi!

Es läuft also darauf hinaus, zu zeigen, dass

ln n < sqrt(n).

Du musst dafür entlogarithmieren, dass heißt e^x für beide Seiten rechnen:

e^(ln n) < e^sqrt(n)

=> n < e^sqrt(n)

[wolti]

Hi!

Es läuft also darauf hinaus, zu zeigen, dass

ln n < sqrt(n).

Du musst dafür entlogarithmieren, dass heißt e^x für beide Seiten rechnen:

e^(ln n) < e^sqrt(n)

=> n < e^sqrt(n)

Hallo,

Naja. Das habe ich auch gehabt.. Ist meiner Meinung nach aber kein Beweis noch. Es ist klar, dass man es so auch sieht, man siehst es sogar in der normalen Schreibweise wie ich es gehabt habe. Ein Beweiss wäre wenn man es über Induktion angeht.

1) A(2) ist war.
ln(2) = 0.7
sqrt(2) ~ 1.4

2) A(n) ist wahr für ein n. Ich möchte zeige, dass aus A(n) ist wahr auch A(n+1) ist wahr stimmt. Dann habe ich es.

Sei ln(n) < sqrt(n) für ein n element aus N.

A(n+1)
ln(n+1) < sqrt(n + 1)

So, jetzt sollte man da probieren die bedienung reinzuwerfen aus (1) damit man es auch beweiesen hat.
Ich kann es wieder so wie vorher exp^(term) nehmen. Dann habe ich:
n + 1 < e^(n+1)^(1/2)

dann kann ich aus A(n) ist wahr das einsetzen und habe.

e^(n)^(1/2) + 1 < e^(n+1)^(1/2)
^
Ist kleiner als n wissen wir. ich setze auf der rechten seite auch n+1 ein, da das das ganze sicher nicht falsch macht wenn es so auch noch stimmt.

e^(n+1)^(1/2) + 1 < e^(n+1)^(1/2)

dividieren durch e^(...)

1/(e^(n+1)^(1/2)) < 1

nun könnte man vielleiht sagen, da das untere immer größer als e^0 ist, dass das ganze stimmt.. ist zwar auch keine schöne lösung, aber.. hmm, nochmal nachrechnen. nicht das ich mich jetzt verrechnet habe.

Grüße,
wolti

[Spockman]

Stimmt.

Ich habe Prof. Urbanek gefragt, und er hat weise geantwortet:

e^x wächst schneller als jede Potenz von x. Die Umkehrfunktion (ln x) wächst daher langsamer als jede Potenz von x (Beweis zum Beispiel in H. Heuser, Analysis 1).

Es gibt also für alle x ein N, sodass für n > N: ln n < x^(1/2)

Gut, gell?

[wolti]

Joop,

Danke für die Mithilfe - Schon interessant wie lange man eigentlich an einem eigentlich "trivialen" Beispiel doch rumrechnen kann wenn man nicht alles sofort akzeptiert, bzw sich immer fragt warum das so ist wie es ist.

Grüße,
Wolti